http://www.elsolucionario.blogspot.com
LIBROS UNIVERISTARIOS Y SOLUCIONARIOS DE MUCHOS DE ESTOS LIBROS LOS SOLUCIONARIOS CONTIENEN TODOS LOS EJERCICIOS DEL LIBRO RESUELTOS Y EXPLICADOS DE FORMA CLARA VISITANOS PARA DESARGALOS GRATIS.
UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE IBARRA - ECUADOR
CÁLCULO VECTORIAL Louis Leithold-EC7; capítulos 9, 10 y 11 Arnaldo Pillajo y Ernesto Palacios
2009
(También hay disponible una versión .docx)
[email protected]
EJERCICIOS 9.1
En los ejercicios 1 a 10, dibuje la gráfica de las ecuaciones para métricas y obtenga una ecuación cartesiana de la grafica. 1.
x x
2.
x x
3.
4 cos t ; y 2
y
2
16 cos
4 sin t ; t 2
4 cos t ; y 2
x
y
2
16 cos
t
16 sin
2
0, 2 t
4 sin t ; t 2
4 cos t ; y
t
16 sin
2
16
0, t
16; y
1
4 sin t ; t
2
x
4.
2
x x
y
2
16 cos
2
9 cos t ; y 2
81
y
t
16 sin
2
t
4 sin t ; t
0, 2
2
16
cos
2
t
sin
2
t
16; x
1
,
0
1 2
0
5.
x x
4 cos t ; y 2
16
6.
x
25 sin t ; t
0, 2
2
y
cos
2
t
sin
2
t
1
625
4 cos t ; y
1
25 sin t ; t
,
2
x
2
16
7.
x
y
cos
2
t
sin
2
t
1; x
0
625
25 tan t ; t
1 2
x
16
2
2
4 sec t ; y 2
1
y
2
81
sec
2
t
tan
2
t
1, x
0
,
1 2
8.
x
4 tan t ; y
9 sec t ; t
0,
1 2
y
2
x
81
9.
2
sec
2
t
tan
2
t
1, x
16
x
3
2t ; y
x
2y
3
10. x
2t
5; y
x
2y
2t
4
t
2t
t
5
8
2t
11
2t
2
7
1
0
,
3 2
dy
En los ejercicios 11 16, calcule
2
d y
;
dx 11. x
3t , y
2t
dt dx
dx
dy 2
4t
d y
;
3
dx
t , y
1
t
dy dy
dy 2
1
dt dx
dx
;
2t
d y dx
2
1
dt dx
2
dt
13. x
9
dt
2
1
4
dt dx
2
dt
12. x
4t
t
t e , y
dx
dt dx
t ln | t |
dy ln | t te
t
1|
2
2t
e , y
;
t
d y dx
dt dx
2
dx
dt dx
1
2t
sin t
2
;
d y
2
dx
dt dx
2
dx
dt
2t
2
sin t
cos t
2
4
dt
a cos t , y
dt dx
3
t e
1|
t t
2
4t
3
dy e
b sin t
dy dy
ln | t
cos t
dt
15. x
t
dt
dy dy
2
2
dt
14. x
3
dt
dy dy
sin eliminar el parámetro.
2
2
dy dy
dx
dy b a
2
cot t ;
d y dx
2
dt dx dt
b 2
a csc
3
t
e
4t
2
16. x
a cosh t , y
b sinh t
dy dy
dy b
dt dx
dx
2
d y
coth t ;
a
dx
dt dx
2
dt
b a
2
csc h
3
t
dt
En los ejercicios 17 a 21, para la grafica de las ecuaciones para métricas (a), obtenga las rectas tangentes horizontales y verticales, y (b) determine la concavidad 17. x a)
4t
2
4t ; y
dx dt dy dt x
1
8t
2
4t
4;
dy
8t
dt dx
0;
4
0
dt 1 dy
dy
b)
dx
2
8t
dt dx
8t
; 4
d y dx
1 t
dt
18. x a)
t
2
t, y
dx dt dy
t
2t
dt y
2
t
1; dx dt
1 4
1 2
dy
2t
dt 0;
1
2
2
0
1
3
dy dy
b)
2t
dt dx
dx
1
2t
1
2
;
d y dx
3
2t , y
1
2 t
dt
19. x
1
2
2
4t
dy dy
8t
dt dx
dx
6t
4
2
3t
dt x
0
2
20. x
2t ; y
dx
4t;
dt dy
dy dt
9
t dx 4 2 d y 9 dx
2
16 t
3t
3
9t
2
2
d y
2
2
9t
dx
4
3
3t
21. x
1 dx dt
t
3
1
3 1 1
3t
, y 2t t
3
3 2
;
2
t
3
; t
1
dy
3t 2
dt
1
t t
3
3 2
22. Trace la hoja de Descartes del ejercicio 21 en la graficadora y determine la 1 ;(b) 1 t 0 ;(c) t 0 . porción de la hoja generada cuando (a) t
23. Obtenga una ecuación cartesiana de la hoja de Descartes del ejercicio 21.
x
3
y
27 t
3
3
27 t
1
t
3
6
27 t
3
1
t
3
3
2
3t
3 1
3t 3
t 1
2
t
3
3 xy
24. Un proyectil se desplaza de modo que las coordenadas de su posición en cualquier instante t están dadas por las ecuaciones para métricas 2
16 t . Dibuje la trayectoria del proyectil y verifique la gráfica en
x 60 t ; y 80 t la graficadora.
25. Obtenga una ecuación de la recta tangente en el punto de la curva definida por 1 las ecuaciones para métricas x 2 sin t ; y 5 cos t , para el cual t . 3 dy 5 sin t dy 5 dy 5 dt 3 tan t dx dx 2 dx 2 cos t 2 dt
26. Obtenga una ecuación de la recta tangente en el punto de la curva definida por las ecuaciones para métricas x
1 3 sin t ; y
2
5 cos t
para el cual
1
t
6
dy
5 sin t
5
dx
3 cos t
3
x
1
y
3
2
5
1
5
2 1
2 3 ;
2
tan t
dy
5
dx
9
2
27. Calcule
3
3
dy d y d y en el punto de la cicloide que tiene ecuaciones (2) para el ; ; 2 3 dx dx dx
cuál y alcanza su valor máximo cuando x esta en el intervalo cerrado 0, 2 a .
dx
2
sin t
dy 1
d y dx
cos t
2
3
1 2
a 1
cos t
2 sin t
d y dx
3
a
2
3
1
cos t
28. Demuestre que la pendiente de la recta tangente a la cicloide que tiene 1 t1 ecuaciones (2) en t t1 es cot Después, deduzca que la recta tangente 2 es vertical cuando t 2 n , donde n es cualquier número entero. dx
a 1
dt dy dx
sin t 1
lim cot t
2a
cos t
cot
cos t 1 2
;
t
dy dt 1 2
a sin t t
29. Calcule el área de la región sombreada limitada por el eje x y un arco de la cicloide que tiene las ecuaciones (2). 2a
A
ydx
a
0
a
2
2
2a
a 1
cos t
dt
0
1
2
2
1
2 cos t
1
cos 2 t
dt
2
0 2
3 a
30. Determine el centroide de la región del ejercicio 29. M
1 x
a
2 3
ydx
1
a
3
2
0
1
3 cos t
3
2a
1
cos t
3 cos
2
t
cos
3
t dt
5
a
3
2
0
M
dt
0
2
2 y
2a
5
x
A
a
6
31. La ecuaciones para métricas para la trocoide son
x
at
b sin t ; y
a
b cos t (a) si a>b>0, demuestre que la trocoide no tiene
ninguna recta tangente vertical. Trace la trocoide en la graficadora para
t
,
si (b) a=3 y b=1, y (c) a=1, b=3. Dibuje la que muestra la pantalla de la
graficadora. Verifique que para el dibujo del inciso (b) donde a>b, la trocoide no tiene ninguna recta tangente vertical mientras que el inciso (c) donde ab. Si el origen está en el centro de la circunferencia fija , A(a,0) es uno de los puntos en los que el punto P hace contacto con la circunferencia fija, B es el punto móvil de tangencia de las dos circunferencias, y el parámetro t es el numero de radianes del ángulo AOB, demuestre que las ecuaciones para métricas de la hipocicloide son a b a b x a b cos t b cos ty y a b sin t b sin t b b 33. Trace en la graficadora la hipocicloide del ejercicio 32 si (a) a=6 y b=2 para
t
,
(b) a=12 y b=2 t
,
. Dibuje lo que muestra la pantalla de la
graficadora. ¿Cuántas cúspides tiene la hipocicloide en cada caso?
34. Trace en la graficadora la hipocicloide del ejercicio 32 si (a) a=8 y b=7 para
t
(b) a=8 y b=3 t
8 ,8
4 ,4
. Dibuje lo que muestra la pantalla de la
graficadora. ¿Cuántas cúspides tiene la hipocicloide en cada caso?
35. Si a=4b en el ejercicio 32, se tiene una hipocicloide de cuatro cúspides. (a) Demuestre que las ecuaciones para métricas de esta curva son
x
a cos
3
t ; y
a sin
3
cúspides si (b) a=4 para t
t . Trace en la graficadora la hipocicloide de cuatro ,
, y (c) a=8 para t
,
. Dibuje lo que
muestra la pantalla de la graficadora. x
b 3 cos t
cos 3 t
b 3 cos t
y
b 3 sin t
sin 3 t
b 3 sin t
4 cos
3
3 sin t
t
3 cos t 4 sin
3
t
4 b cos 4 b sin
3
3
t
t
a cos a sin
3
3
t
t ,t
,
36. (a) A partir de las ecuaciones para métricas del ejercicio 35, obtenga una ecuación cartesiana de la hipocicloide de cuatro cúspides. (b) Utilice la ecuación cartesiana del inciso (a) para dibujar la grafica de esta hipocicloide. x x
3
t ; y
2/3
2/3
a cos 2/3
y
a a
x
2/3
2/3
y
a sin cos
2/3
a
2
cos
3
t
t
2
a
t
2/3
sin
sin
2
2
t
t
a
2/3
2/3
37. En el ejercicio 44 de la sección 7.3, se definió la tractriz como la curva tal que la longitud del segmento de toda recta tangente desde el punto de tangencia al punto de intersección con el eje x es una constante positiva a. En ese ejercicio se obtuvo la ecuación cartesiana de la tractriz x
a ln
a
a
2
y
2
a
2
y
2
y
(a) Demuestre que las ecuaciones para métricas de la tractriz son x
t
a tanh
t
; y
t
a sec h
a
a
a) y
a sec h
t
;
a
2
y
2
a
2
2
2
a sec h
a
x
a ln
a
t
a 1
a a
2
y
a
2
a
2
y
2
t a
t/a
a tanh
t a
b)
a
4
t
a tanh
t a
a tanh
2
a a
a sec h
t
t
a tanh
a
t a
t
a tanh
a ln
y
a ln e
2
sec h
a tanh
t a
a ln
cosh
t a
sinh
t a
a tanh
t a
38. Demuestre que el parámetro t de las ecuaciones para métricas de la tractriz ( vea el ejercicio 37) es la intercepción x de la recta tangente.
x
t
a tanh
t
; y
a sec h
a dx
1
a t
2
sec h
dy
t
tanh
2
a
t a
dx x1
x
y dy dx
x
y dt dy dt
t
a tanh
t a
a sec h
t a
tanh
2
t a
sec h
t a
tanh
t a
t
EJERCICIO 9.2 En los ejercicios 1 a 14, calcule la longitud de arco exacta de la curva definida por el conjunto dado de ecuaciones para métricas. Trace la curva en la graficadora y observe si la longitud de arco aparente que se muestra en la grafica apoya la respuesta.
1.
x
1
t
2
1
t, y
2
t
2
1
L
2
x
t
1
t t
2
2
3
x
2t ; t
2
2
ln t
1 dt
2t
t
2
1
6t 1
2
t
2
y dt
2 2
0 a t
2
2
ln 1
3
1
t
2
2
2
1/ 2
2 1
t
2
3/2
2t
2
2 2
2t
t t
1
1
2
2
1
dt
2
2 2
t
2
1dt
0 2
ln t
t
2
1
2 10 0
3
0
0 2
t 0
0
2t ; t
0
1
2
2
2t , y
x
2 dt
2
3
2
t dt
0
2
1
2
3
3
2
2
1 0
y dt
20 10
L
1
2
t
1
0 a t
0
t
2
2
3t , y
L
x
1
0
1
1
2
3.
1
0
2
x
0; a ; t
1
2
y dt
0
2.
t; t
2
2 ln 2
5
2
1dt
4.
x
3
2
t , y
3t ; t
0
L
3t
2
2 a t
2
6t
2
0 0
dt
3
2
3
L
2
5.
x
4
t
2
4 dt
x
3
2t ; t
2
2
4 dt
3/2
2
8
4
16 2
2
16 t
cosh t ; t
3
x
8
2 2
4
36 t dt
0
t; y
0
1 ;t
y dt
0
L
2
4
2
2
x
t
8
2t ; y
L
t 2
2
2
2
9 t dt
2
4
9t
2
2
3/2
2
40 0
3
3
1 sinh 0
t 4 0
0 ;t
y dt
2
2
2
3
t dt
3
cosh t dt 0
sinh t
0
sinh 3
3/2
13
3/2
6.
x
2t
2t
3e ; y ln 5
L
x
4e ; t 2
0; t
2
y dt
36 e
0
7.
x
t
2
2
3; y
x
2
3t t
x
10
4
4t
t
1
x
2
2
1
2
4
2
2
36 t dt
0; t 2
2 cos t 0
5e
2t
ln 5
120 0
40 t dt
10 t
1
e sin t ; t
y dt
2t
e dt
4
1
t
0
1; t
2
e cos t ; y
L
ln 5
4t
64 e dt
0
y dt
1
8.
4t
0
4
L
ln | 5 |
ln 5
2
4
15 10 1
1 2
2t
1
sin t e dt
t
2 e dt 0
2e
t
1
2 e 1 0
9.
x
ln sin t ; y
t
1; t
; t 6
/2
L
x
2
tan
/2
/2
2
y dt
csc t dt
/6
10. x
2
ln csc t
cot t
/6
1
1
t; y
ln t
2
ln 2 /6
1 ; t
0; t
1
2 1
L
x
2
2
0
11. x
1
y dt 0
2 co s t
t sin t ; y
1
t
1
t
2
2
1
dt 2
ln t
1
t
2
ln 1 0
2 sin t
t co s t ; t
0; t 3
2
L
x 0
2
/3
2
y dt
2 t 0
2
2
co s t
2
sin t d t
1 9
2
2
3
12. x
4 sin 2 t ; y
L
x
2
4 cos 2 t ; t
2
y dt
64 cos
0
13. x
2
2t
64 sin
2
2 t dt
8
0
t
e
0; t
L
t
cos t ; y x
2
e sin t ; t
2
8t
0
8
0; t
t
y dt
2 e dt
0
dt 0
2e
0
t
2 1 e 0
En los ejercicios 15 a 22, utilice NINT en la graficadora para obtener un valor aproximado con cuatro dígitos significativos de la longitud de arco de la curva definida por las ecuaciones para métricas dadas. 14. x
t
2, y 3
L
x
2
4t
2
t; t
2t
2
3t , y
x
2
2t 2
1; t
2
8t
1 dt
1 a t
2
2
y dt
1
16. x
1
39.194
0
2
L
3
3
2
y dt
0
15. x
0 a t
3 co s t , 2 sin t ; t
4t
3
1
0 a t 2
2
4 dt
9.223
39.19
/2
L
2
x
/2
2
y dt
3 sin t
0
17. x
2
2 cos t
2
dt
3.966
0
2 sec t , y
3 tan t , t
0 a t 4
/4
L
2
x
/4
2
y dt
2 sec t tan t
0
18. x
2
2
2
3 sec t
dt
3.138
0
8 tan t , y
3
6 sec t , t
a t
4 /4
L
2
x
2
8 sec t
0
19. x
3
t
e , y
ln t , t
5
L
2
x
20. x
y dt
e
2
t , y 4
L
t
2
x
2
4t , t
4 a t
4
2
dt
8.462
2
145.8
t
y dt
2t
4
21. x
1
2
t
1
4
2
5
5
2
6 sec t tan t
/4
1 a t
1
2
2
y dt
4
2
2t
4
2
dt
55.31
4
3
3t , y
4t , t
1
L
2
x
1 a t
1
1
2
4
y dt
9 144 t dt
1
10.96
1
22. Calcule la longitud de la hipocicloide completa de cuatro cúspides x
3
a cos t ; y /2
L
2
x
3
a sin t 2
y dt
/2
4
0
2
2
2
9 a cos t sin t
2
cos t
1
2
t
2 a sin
2
/2
2
6 a sin t
6a 0
0
23. Calcule la longitud de un arco de la cicloide x a 4 sin
2
sin t dt
a t
sin t ; y
a 1 cos t
t 2 2
2
L
x 0
2
2
y dt
2
2a
sin 0
t
dt
4 a cos
2
24. Calcule la longitud de la tractriz x
2
t
a tanh
t a
t=2ª
t
; y
8a 0
a sec h
t a
desde t=a a
2
L
2
x
2
2
y dt
a
1 sec h
1
2
t
2
2
sec t tanh t dt
2
a
tanh t dt
1
1 2
2
a
2
2
tanh t dt
a ln cosh t
1
a ln cosh 2
ln cosh 1
1
25. Determine la distancia recorrida por una tachuela clavada en la llanta de una rueda de bicicleta si su radio es de 40cm y la bicicleta recorre una distancia de 50 m. 2
L
62.5
x
2
2
2
y dt
62.5 0.4
1
0 2
1
2
25
2
2 cos t dt
25 2
0
2
2
cos t
sin t
t
2
sin
dt
1
cos t dt
2
0
50
2 cos t
0
200
2
0
26. (a) Demuestre que la curva definida por las ecuaciones para métricas
x
a sin t ; y
b es una elipse.
b cos t ; a
(b) Si C es la longitud de la elipse del inciso (a), demuestre que /2
2
2
2
b
2
1 . Esta integral se denomina 2 a integral elíptica y no puede evaluarse exactamente en términos de funciones elementales.
C
4
k sin t dt donde k
a
2
a 1
0
a) x
2
2
y
a
2
2
sin t
cos t
b
x
2
y
2
a
2
b
2
1
b) /2
C
4
x
2
/2
2
y dt
2
4
0
a cos
/2
a
k
b sin
2
/2
t dt
2
a
2
b
2
4
a
2
1
2
sin t
/2
2
sin t dt
4
a 1
2
2
k sin t dt
0 2
b a
2
2
1
27. (a) Utilice la fórmula del ejercicio 27(b) y NINT en la graficadora para determinar la longitud de la elipse definida por las ecuaciones para métricas. x
5 sin t ; y
2
2
b sin t dt
0
0
a
2
t
0
4 2
2
4 cos t
(b) Trace la elipse en la graficadora. Apoye la respuesta del inciso (a) determinando los perímetros del rombo inscrito y del rectángulo circunscrito en la elipse y mostrando que la longitud de la elipse está entre estos dos perímetros.
a) /2
C
4
2
a 1
2
k sin t dt
0
k
a
2
2
b 2
a a k
5; b 2
5
2
4
2
4
2
9
25 /2
C
4
5 1
25 9
sin
2
t dt
25
0
b) 16 25 4 5 9 4 * 9 36
41
4 41
25.6
28.36
EJERCICIOS 9.3
En los ejercicios 1 a 4, ubique los puntos que tienen el conjunto dado de coordenadas polares. 1. a)
3, 6
b)
2,
2 3
c)
1,
d)
4,
5 4
e)
5,
11 6
2. a)
4, 3
b)
3,
3 4
c)
7
1,
6
d)
2,
3 2
e)
5,
5 3
3. a)
1, 4
b)
3,
5 6
c)
1, 4
d)
3,
5 6
e)
2,
1 2
4.
a)
2
5,
3
b)
2,
7 6
c)
5,
2 3
d)
2,
7 6
e)
5
4,
4 En los ejercicios 5 y 6, obtenga las coordenadas cartesianas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas polares se indican.
5. a)
3, 3 cos , 3 sin
b)
º
3, 0 º
3
2,
4 3
2 cos
,
3
2 sin
4
c)
4,
2
4
2
,
2
1,1
2
2 3 2
4 cos
, 4 sin
2, 2 3
3
d)
3
7
1,
6 cos
3
, sin 6
6
1
,
2
2
6. a)
2 cos
2,
, 2 sin
b)
co s
1, 4
0, 2
2
2
2 1
, sin 4
4
2
2,
1 2
2
c)
7
2,
5
2 cos
6
6 7
d)
2,
a)
1, 1
5
, 2 sin
2 cos
3 ,1
6
7
, 2 sin
7
2, 2 4 4 4 En los ejercicios 7 y 8, obtenga un conjunto de coordenadas polares de los puntos cuyas coordenadas cartesianas rectangulares se proporcionan. Considere r>0 y 0 2
7.
r
2 1
tan
1
2
7 4
2,
7 4
b)
3 ,1
r
2 1
tan
3 6
3 2,
3 6
c)
2, 2 r
2 2 1
tan
1 4
2 2, 4
d)
5, 0
5,
8. a)
3, 3
r
3 2 1
tan 3 2,
7 4
b)
1, 3
1
r
2 tan
2
3
3 2,
2 3
c)
0, 2 r
2 2
1
tan
3
0 2,
2
3 2
d)
2, 2 3
r
4 1
tan
4
3
3 4,
4 3
En los ejercicios 9 a 12, obtenga una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar indicada. 9.
r
2
2 sin 2
r
2
2 sin 2
r
4
4 r sin
r r cos
2
10. r cos 2
r
2
cos
x
2
2
y
2
sin
y
2
2
10
10
1
2 sin 3
6 sin 4
r
2
2
6r 2
2
y
4
3
6 r sin
2
x
8 sin 3
3
r x r sin
x
2
1
12. r r r
x
cos
10
11. r co s x
4 sin
y
4
2
y y 2
3
8 r sin r sin
3
8 r sin
2
2
6 x 2
2x y
2
2
y 2
2
6x y
y
8y 2y
3 0
3
2
4 xy
EJERCICIOS 10.1 En los ejercicios 1 a 4, (a) dibuje la representación de posición del vector A y también la representación particular que pasa por el punto P, (b) Calcule el módulo de A. 1.
A
3, 4 ;
P
2,1
Sea Q
x, y
a)
b) 2.
A
A
3
2, 5 ;
2
2
4
P
x
2
3
x
5
y
1
4
y
5
A
3
2
2
4
Q
9 16
5, 5
25
5
3, 4
a) Sea Q
b)
3.
A
x, y
A
e,
2
1 2
;
P
2
x
3
y
4
5
2
2, e
2
x
5
4
y
25
5
Q
9
29
A
29
5, 9
A
5
x
a) Sea Q
2
e
x, y y
x 1
e
e
A
1
2
e
2
e
2
2
4.
A
4, 0 ;
P
a) Sea Q
b)
A
y
2
e
2,
1
e
2
e
2
1
A
e
4
2
1 4
2, 6
x, y
4
Q
1
2
b)
2
0
x
2
4
x
6
y
6
0
y
6
2
16
A
Q
6; 6
4
En los ejercicios 5 y 6 obtenga la medida exacta en radianes del ángulo director del vector. En el inciso (c) aproximadamente la medida a centésimos del radian. 5.
( a ) 1; 1 (a)
b
3; 0
c
5; 2
tan
1
7
1;
1
4
(b)
tan
0 3
(c)
tan
2
0, 4;
arctan
5
6.
a
(a)
3 ;1
2
0.38
5
b
0; 4
c
3; 2
0;
1
tan
1
;
6
3
(b)
4
tan
0
;
1 2
(c)
2
tan
;
arctan
3
2
2.55
3
En los ejercicios 7 a 10, obtenga el vector A que tiene al segmento dirigido P Q como una representación. Dibuje P Q y la representación de posición de A 7.
P
3, 7 ; Q
v PQ
8.
5
P
5, 4 ; Q
A
3
5; 7
5, 4 3; 4
7
2, 3
3, 7 4
2, 3
9.
P
5, 3 ; Q
v PQ
0
10. P
0, 3
5; 3
3
2,0 ; Q
v PQ
0
5, 6
0, 0
2;0
0
2,0
En los ejercicios 11 a 14 determine el punto S de modo que P Q y R S sean representantes del mismo vector 11. P
S 12. P
S 13. P
S 14. P
S
2, 5 ; 1, 6
2, 5
3, 2
2, 0 ;
3
1, 6 ;
Q
4, 4
3, 4 ;
0
0, 3 ; 5, 2
2
7, 0
1, 4 ; 1, 4
4, 2
R
7, 0
12, 5 2, 3 ;
Q
2, 3
R
3, 2
5, 2 ;
Q 0, 3
3, 2
4, 3
Q
2
R
5, 2
R
5, 2
2, 9
En los ejercicios 15 y 16, calcule la suma del par de vectores e ilústrela geométricamente 15. a
2, 4 ,
(a)
2, 4
(b) 16. a
3, 5
3, 0
0, 3 ,
(a)
0, 3
(b)
2, 3
b
3, 5
2
4, 5
3, 0 , 4, 5
3, 4 3
5
4, 0
2, 3
5
b
2, 3
0
2, 1
1, 9
2, 3 ,
2, 3
3
2
2,2
2, 1
2, 6
En los ejercicios 17 y 18, reste el segundo vector del primero e ilustre la diferencia geométricamente. 17. a (a) (b) 18. a
3, 4 , 6, 0 3, 4 1, e
6, 0 3, 2 e
0, 5 , 2, 8
b 3
6, 4
1 3, e
2e
b
1, e ,
3, 2 e
0
9, 4 4, e
3, 7 , 3, 7
(a)
0, 5
2, 8
(b)
3, 7
3, 7
0
2, 5
8
2, 3
0
En los ejercicios 19 y 20, determine el vector o escalar si
A 19. a
A
B
(a) A
B
(b)
C
(c)
7A
20. a
b 2, 4
B
B
(a) A
B
(b)
C
(c)
2A
C
b
7, 5
3, 2
3 2 2, 4
7
14, 28
B
c 2
2
4, 4
2
2
2
5
3
5A
b
(a) 5 2i+3j (b)
6 4i
(c) A (d)
2A
22. a (a)
j
3 4, 3
b
j
B
23. a
A
B
5A
A
4i 12i
12, 9
16, 1 2i+3j y B
d
B
A
16 4i
2
1 j
B
2
36
A
4
40
2 10
d
B
A
B
6j 3j 4i
j
2i+4j 2
b
5A
6B
2
c
B
B
2
5A
2
4
2
4 16
20
c
5A
6B
2 5
6B
6B 2i+3j
6 4i 14i
4i
j
j
2
2
10i 15 j 21 j
1061
3B
6i+2j 6
2i+4j
(b) 5 2i+3j (c)
j
3B
2i+3j
d A
4i
2
2, 7
4, 8
c
6i+2j
2 2i+3j
A
(a)
B
2A
(d)
31
24i+6j
A
(c) A
2
13
6B
2i+3j
(b) 3 4i
10
10i+15j
B
d
74 10, 31
En los ejercicios 21 a 24, obtenga el vector o el escalar si A 21. a
2
4, 3
C
4, 3
7A
6,1
4, 3
2, 4
3, 2
c
4, 3
7 2, 4
3B
4, 3 , C
B
4, 3 3, 2
B
A
2, 4 , B
14
3
2
4
24i+6j = 2
21
2
2
1
2
14i
21 j
96
441
13
637
17
7 13
2
257
(d)
5A
24. a
A
6B
B
3A
A
B
(b) 3 B
2A
(c)
3B
(d)
3A
2i+3j
3 4i
j
8i
2B
25. Obtenga (a) 5 A 2 B
2B
c
6 17
3B
2A
2
2
8 3j
2
3
2
12i
3j
2
64
4i+ 6 j
12
9
4i+2j , B
2
4
4i
81 2
3
1
6j
2
13
8i
17
9j
145 2
i+3j y C=5i
4
2
6
2
153
52
j
2
i+3j
2 5i
2 10 i+ 10
j
-20i+10j
6+2 j
28i
2i
6j
10
2
2
6
6j
784
36
820
2 205
C
i+3j 2A
6j
2
4i+2j
5i
j
3i+9j
8i
4j
5i+j
C 6
2
6
En los ejercicios 27 y 28 A
8i+5j y B
3i
j
27. Determine un vector unitario que tenga la misma dirección que A + B
A+B= 8i+5j A+B U=
11
11
3i 2
j
+ 4
4
i
137
11i+4j
2
121 16
137
j
137
28. Obtenga un vector unitario que tenga la misma dirección que A
A A
B= 8i+5j B
2j
2C
26. Determine (a) 3 B 2 A
3B
5 13
2C
28
(b)
2
1
2A
j
9j
4i+2j
3
3B
2
2 2i+3j
12i
20
5A
6 4
4i
En los ejercicios 25 y 26 A
(b)
2
2B
2A
5
3
b
d (a)
2
5 2
5
3i 2
+ 6
j 2
5i+6j 25
36
61
B
6j
3 17
2 13
5
U=
6
i
61
j
61
En los ejercicios 29 a 32, exprese el vector dado en la forma r
cos
i+sin
j ,
donde r es el modulo y es el ángulo director. También obtenga un vector unitario que tenga la misma dirección. 29. a
3i
4j
(a) r
2
3 3
U=
(b) r
b
4
i
5
5
2 i
j
2i
2
4
9 16
2 1
2
1
2
2
2
i
2
30.
a
8i
(a) 8i
j
2
8 4
i
5
(b) 2 5i
i+
6
j
10
1
4 j= 6
1
5i+
2
4i
4 3j
4i
5i+
b
4 3j
i+
2
(b) r
16i
16i=16 U=
i
1
j
j
4 1
4 3 j= 8 1
2 3
i+
2 U=
4j
j
3
4i
2 5i
5
3
(a) r
j
4
j
3 U=
1
i+ sin
4
b
6 j= 10 4
1
2 2 cos
2
10
31. a
2
6j
U=
5
2 2
i+
2
2
25
2j
j
2 j= 2 2
U=
2i
2
2
1
16i
4 3 3j
8 cos
2
16 2
i+ sin
3
3j
i+0j
2
16
16 cos
i+sin
64 2 3
2
16
48
j
8 j
32. a
3i
(a) r
3j
b
3i
3i
3j
3
2
1
3 j= 3 2
1
i
2
1
U=
1
i
2 (b) r
2
3
2j
3 2 j
3 2 cos
7
i+ sin
4
2
7
j
4
j
2
2j
2
2 j= 2 0i
j
2
2 1
2 co s
1
i+ sin
2
j
2
U =j
33. Si A
j, B
2i
C
hA
5i
4 j= h
2j y C
3i
4 j . Determine los escalares h y k tales que
5i
kB
2i
j
k 3i
2j
2h
3 k i+ h
2k j
Planteando un sistema de ecuaciones, y resolviendo el sistema 2h h
34. Si A
5i
que B
4i
5
2k 2j, B
hC
3 j= h
3k
5 4i
3j y C
6i
h 2 k 3 8 j determine los escalares h y k tales
kA
6i
8j
k 5i
2j
6h
5 k i+ 8 h
2k j
Planteando un sistema de ecuaciones, y resolviendo el sistema 1 h 6h 5k 4 4 1 8h 2k 3 k 2 35. Si A
i
2j,B
2i
4 j,C
5 j , demuestre que C no puede expresarse en
7i
la forma h A + k B , donde h y k son escalares.
7i
5 j= h i
2j
k
2i
4j
h
2 k i+
2h
4k j
Planteando un sistema de ecuaciones, y resolviendo el sistema h 2k 7 2h 4k 5
2h 2h
4k 4k
14 5
36. Dos fuerzas de 340lb y 475lb forman entres si un ángulo de 34.6º y se aplican a un objeto en el mismo punto. Calcule (a) el módulo o intensidad de la fuerza resultante, y (b) el ángulo que forma la resultante con la fuerza de 475lb con aproximación de decimos de grado.
(a) A
475, 0
B
b1 , b 2
b1
340 cos 34.6
280
b2
340 sin 34.6
193
475lb
A+B= 475, 0 A+B
el ángulo entre A y B es 34.6 º
340lb
280,193
755
2
193
2
755,193
779 lb
(b) 193
tan
0, 2 5 5 6
755
tan
1
0, 2556
1 4 .3º
El ángulo y la resultante es 779 lb ;
1 4 .3º
37. Dos fuerzas de 60lb y 80lb forman entre si un ángulo de 30º y se aplican a un objeto en el mismo punto. Obtenga (a) el módulo o intensidad de la fuerza resultante, y (b) el ángulo que forma la resultante con la fuerza de 60 lb con aproximaciones en grados. (a)
A
60, 0
La fuerza
B
b1 , b2
80lb
b1
80 cos 30
69.3
b2
80 sin 30
40
A + B = 60, 0 A+B
69.3, 40
129.3
2
129.3, 40 2
40
135.3
(b) 40
tan
0, 309
129.3
tan
1
0, 309
17 º
38. Una fuerza de 22 lb y otra de 34 lb se aplican a un objeto en el mismo punto y forman un ángulo entre si. Si la fuerza resultante es de 46 lb. Determine con aproximación de grados.
A
34, 0
B
22 cos , 22 sin
46
2
34
2
A+B
2
34
2 34 22 cos
22 cos 22
2
2
22 sin
2
46
cos
2
34
2
22
2
2 34 22 0, 3182
cos
71, 4º
39. Una fuerza de 112 lb y otra de 84 lb se aplican a un objeto en el mismo punto, y la fuerza resultante es de 162 lb. Determine el ángulo formado por la resultante y la fuerza de 112 lb con aproximación de decimos de grados.
a
A
112
b
B
84
c
A
B a
cos
162
2
c
2
b
2
112
2 ac
2
162
2
84
2
0.874
2 112 162
2 9 .6
40. Un avión tiene una velocidad al aire de 350 mi/h. Para que el curso real del avión sea el norte, su enfilamiento debe ser 340º. Si el viento sopla del oeste, (a) ¿cuál es la rapidez del viento? (b) ¿Cuál es la velocidad a tierra del avión? OB
b1 ; b 2
450º 340º
110º
b1
3 5 0 co s 1 1 0
b2
3 5 0 sin 1 1 0
C
0 .3 2 8, 9
1 1 9 .7 1 1 9 .7
(a)
BC
b1
119.7
(b) OC
b2
328.9
41. En el avión que tiene una velocidad al aire de 250 mi/h, el piloto desea volar al norte, si el viento sopla hacia el esta a 60 mi/h, (a) ¿Cuál debe ser el enfilamiento del avión? (b) ¿Cuál sería la velocidad a tierra si el avión volase en este grupo? (a) 360 º
sin
60
1
360 º 13.9 º
346 º .1
250
(b) v
250
2
60
2
242.7 m i / hr
42. Una lancha puede desplazarse a 15 nudos con respecto al agua. En un río, cuya corriente es de 3 nudos hacia el oeste la lancha tiene un enfilamiento hacia el sur. ¿Cuál es la velocidad de la lancha con respecto a tierra y cual es su curso?
v
15
2
Curso 180
3
2
tan
15.30 Nudos 1
3
191.31
15
43. Un nadador con una velocidad de nado de 1.5 mi/h con respecto al agua, parte de la rivera sur de un río y se dirige al norte directamente a través del río, si la corriente del rio fluye hacia el oeste a 0.8 mi/h. (a) ¿En que dirección va el
nadador? (b) ¿Cuál es la velocidad del nadador con respecto a tierra? (c) Si la distancia a través del río es de 1 milla, ¿Qué tan lejos, rio abajo, el nadador alcanza la otra orilla? (a) tan
0.8
1
28.1
1.5
(b) v (c)
2
1.5
0 .8
0.8
2
1.7
0 .5 3
1 .5
44. Suponga que el nadador del ejercicio 43 desea llegar al punto ubicado directamente al norte a través del rio. (a) ¿En que dirección debe dirigirse el nadador? (b) ¿Cuál será la velocidad respecto a tierra del nadador si elige esta dirección?
Sea el punto O B b1
y
b1 , b2
la dirección
0.8
1.5 cos 0.8 cos 0.5333 1.5 b 2 1.5 sin 122.2 1.27
(a) 4 5 0 1 2 2 .2 3 2 7 .8 (b) La velocidad relativa 1 .2 7 45. Demuestre que si A es cualquier vector y c es cualquier escalar, entonces 0(A)=0 y c(0)=0
A= a1 , a 2 0A=0 a1 , a 2 c0
c 0, 0
0 a1 , 0 a 2 c 0, c 0
0 0, 0
0
46. Demuestre el teorema 10.1.8(ii) A + B + C = a1 , a 2 a1 a1
b1 b1
c1 , a 2 c1 , a 2
b1 , b 2 b2
c1 , c 2
a1 , a 2
b2
c2
a1
a1 , b 2
b2
A= a1 , a 2
1A=1 a1 , a 2
0, 0 1a1 ,1a 2
c1 , b 2
c2
c2
47. Demuestre el teorema 10.1.8 (iii) y (viii).
A+0= a1 , a 2
b1
a1
0, a 2 a1 , a 2
48. Demuestre el teorema 10.1.8 (iv).
0 A
a1 , a 2
c1 , c 2
A +B
C
A= a1 , a 2 -A= A+
a1 , a 2 A
a1
a1 , a 2
a2
0, 0
0
49. Demuestre el teorema 10.1.8 (v)
A= a1 , a 2 cd A = cd
a1 , a 2
cd a1 , cd a 2
c da 1 , c da 2
c da 1 , da 2
c dA
50. Demuestre el teorema 10.1.8 (vii)
c
d A= c
c a1 , a 2
d
a1 , a 2
c
d a1 , a 2
d a1 , c
d a2
ca1
da1 , ca 2
da 2
ca1 , ca 2
da1 , da 2
c A+dA
51. Sean A= 2,-5 , B = 3 ,1 y C = -4,2 (a) Calcule A+ B+C
A+ B+C (b) Calcule A +B
A+B
C
e ilustre geométricamente.
2,-5
3,1
-4,2
2, 5
1.3
1, 2
C e ilustre geométricamente.
2,-5
3,1
-4,2
5, 4
4, 2
1, 2
52. Se dice que dos vectores son independientes si y solo si sus representaciones de posición no son colineales. Además, se dice que dos vectores A y B forman una base para el espacio vectorial V 2 si y solo si cualquier vector de V 2 puede expresarse como una combinación lineal A y B. Se puede demostrar un teorema que establece que dos vectores forman una base para el espacio vectorial V 2 si son independientes. Muestre que este teorema se cumple para los dos vectores
2, 5 y 3, 1 haciendo lo siguiente: (a) verifique que los vectores son independientes mostrando que sus representaciones de posición no son colineales; y (b) verifique que los vectores forman una base al mostrar que cualquier vector a 1 i+ a 2 j puede expresarse como c 2i+5 j
d 3i
d son escalares. Sugerencia: exprese c y d en términos de a 1 y a 2
OA OB
(a) A = 2, 5
B = 3, 1 (b) a1 i
b2 j
c 2i
5j
d 3i
j
2c
3d i
5c
d j
j , donde c y
a1
2c
3d
a2
5c
d
a1
5 a1
3a 2
2a2
3 5c
5 3d 1
c
2c
a1
17
2d
17 c
17 d
3a2
1
d
17
5 a1
2a2
53. Consulte las dos primeras oraciones del ejercicio 52. Se puede demostrar un teorema que afirma que dos vectores forman un teorema que afirma que dos vectores forman una base para el espacio vectorial V 2 solo si son independientes. Muestre que este teorema se cumple para los vectores 3, 2 y
6, 4 efectuando lo siguiente: (a) verifique que los vectores son dependientes (es decir no son independientes) probando que sus representaciones de posición son colineales; (b) verifique que los vectores no forman una base tomando un vector particular y demostrando que no puede expresarse en la forma c 3i
2j
d
6i+4j , donde c y d son escalares (es decir, no generan el
d
6i
espacio vectorial).
C
i
C
cA
i
j 3c 2c
j dB
c 3i 6d 4d
2j
4j
3c 6c 6c
1 1
6d i 12 d 12 d
2c
4d j
2 3
54. Un conjunto de vectores V1 , V 2 , V 3 , ..., V n se dice que es linealmente dependiente si y solo si existen escalares k 1 , k 2 , k 3 , ..., k n no todos cero, tales que k 1 V1
k 2 V2
Demuestre que si V1 y
k 3 V3
3i
...
k n Vn
2 j , V2
i
4 j , V3
2i
5 j , entonces V1 , V 2
V 3 Son linealmente dependientes.
a 3i
2j
b i
3a 2a
b 4b
2
4j
2i
5j
3a a
5
b 3
2 i , b
14
2a
4b
5 j
0
19 14
55. Sean P Q una representación del vector A , Q R una representación del vector B , R S una representación del vector C . Demuestre que si P Q , Q R y R S son
los lados de un triangulo, entonces A
B
C
0.
V PQ , B V QR , C V PQ V QR V RS A B C V PQ V QR
V RS
A
V RS
V PR
V RS
V PS
0
56. Demuestre analíticamente la desigualdad del triángulo para vectores:
A
B
A
B
a1 , a 2 ; B
A A
2
B 2
2
b1 2
B
a2
b2
2
2
a1 k b1
2 a1 b1 a2 x
B
a 2 b2
a2 x
2
b1
0
2 a1 b1
2
a 2 b2 x a2 k
b2
2 a1 b1
a2
2
b1
2
b1
2
b2
a1 b1
a 2 b2
a1 b1
a 2 b2
A
B
2
2
2
B
a2 2
2 a 2 b2
2 a1 b1
2
b2
a 2 b2
4 a 2
a1 2
a1 B
A
2
2
a2
b1
2
a2
2 a1
0
ka 2
a2 2
b2
0
2 1
a 2 b2
2
b1
b2
A
A
2
b1
0
ka1
2
2 a1 b1
b2
a 2 b2
b2
2
A
2
a1
b1 , a 2
2
b
a1
a1
b2
2 a1 b1
2
a1 x
B 2
b1 2
a2 2
A
a1 2
a1
b1 , b2 ; A 2
2
2
2
b2
0
2
2
b2 2
b1
2
b2
A
2
B
2
2
2 A
B
A
B
57. Explique la diferencia entre magnitud vectorial y magnitud escalar.
B
EJERCICIOS 10.2 En los ejercicios 1 a 5, los puntos A y B son vértices opuestos de un paralelepípedo que tiene sus caras paralelas a los planos coordenados. En cada ejercicio, (a) dibuje la figura, (b) obtenga las coordenadas de los otros seis vértices, (c) calcule la longitud de la diagonal AB. 1.
A 0, 0, 0 ; B 7, 2, 3 b
7, 2, 0 , 0, 0, 3 , 0, 2, 0 , 0, 2, 3 , 7, 0, 3 , 7, 0, 0
c AB
2.
7
A 1,1,1 b
A b
3 1
4 1
B 2, 3, 5
2,1, 2 ,
1, 3, 2 , 2 1
A 2, 1, 3
3
2
0
49
4
9
62
4
2
2 1
2
4
1,1, 5 , 2, 3, 2 ,
2
3 1
2
5
2
9 1
14
1, 3, 5 , 2,1, 5
2
9
4
9
22
B 4, 0,1 2
A 1, 1, 0 ; b
2
1,1, 2
AB 5.
2
0
1,1, 2 , 1, 4,1 , 1, 4, 2 , 3,1,1 , 3,1, 2 , 3, 4,1
c AB
4.
2
B 3, 4, 2
c AB
3.
2
0
2
0
1
2
1
2
3
3
B 3, 3, 5
3, 1, 0 , 3, 3, 0 , 1, 3, 0 , 1, 3, 5 , 1, 1, 5 , 3, 1, 5
c AB
3 1
2
3 1
2
5
0
2
4 16
25
45
3 5
6. El vértice opuesto al rincón de una sala está a 18 pie al este, 15 pie al sur y 12 pie por arriba del primer. (a) Dibuje la figura; (b) determine la longitud de la diagonal que une dos vértices opuestos; (c) obtenga las coordenadas de los ocho vértices de la sala. (a)
(b)
d
18
2
15
2
12
2
3 6
2
5
2
4
2
3 77
En los ejercicios 7 a 11, determine (a) la distancia no dirigida entre los puntos A y B, y (b) el punto medio del segmento de recta que une a A con B
7.
A 3, 4, 2 ;
B 1, 6, 3
(a)
3 1
AB 1
(b) x
3
2
1
4
2;
1
y
2
8.
B
4
3
6
2
4
5;
4
1 1
z
(a)
2
4
2
1; y
AB 1
4
2
3 5
3
2
2
3
2
3 1
5
3
2
2
6
0;
3
2
1
z
2
A 2, 4,1 ;
9
2
2, 3, 5
2
9.
2
2
A 4, 3, 2 ;
(b) x
2
6
1
B
6 2
2
7
2
11 3
5
2
2
, 2, 3
2
(a)
AB
2
1
2
4
2
2
1
9
2
3
2
(b)
1
1
2
2
10. A
2,
,
2
1
4
4
1
4
2 ,
2
,5 ;
36
1
1
5
3
2
1
169
2
13 2
, 1, 2
4
B 5,1, 4
2
(a)
AB
5
2
2
2
1
1
4
2
5
49
2
(b)
1
2
5 ,
2
11. A
(a) (b)
1
1
2
2
1 ,
B 3, 7, 2
AB
5
1
5
3 ,
2
3 1
2
2
2 7 ,
1
2
7 1
5
2
1
1
2
2
2
64 1,
2
2
1 1
2
9 2
un triangulo, y calcule su área.
2 1
7
3
2
1
529
2
23 2
3 1 1 , , 2 4 2
4
12. Demuestre que los tres puntos 1, 1, 3 ;
AB
81
4
2
5, 2,1 ;
9
21
,
25
9
98
7 2
1 2
2,1, 7 y 4, 2, 6 son los vértices de
BC
4
AC
4 1
AB
2
2
BC
2
2
2 1
2
AC
2
6
7
6
3
2
6
2
27
2
21
21 6
bh
Área
2
2 1
2
6
27
3 14
2
2
13. Se dibuja una recta que pasa por el punto 6, 4, 2
y que es perpendicular al
plano yz . Obtenga las coordenadas de los puntos de la recta que estan a una distancia de 10 unidades del punto 0, 4, 0 .
x , 4, 2 x
0
x
2
4
x
2
96
x
2
4
4
2
2
2
0
10
100
4 6 , 4, 2
4 6
4 6 , 4, 2
y
14. Resuelva el ejercicio 13 si la recta se dibuja perpendicularmente al plano xy . El punto 6, 4, z
6 36 z
0 z
2
2
2
es 10 unidades de 0, 4, 0
4
2
4
z
2
0
10
2
100
64
z
y 6, 4, 8
6, 4, 8
8
15. Demuestre que los tres puntos
3, 2, 4 ,
6,1, 2 y
12, 3, 6
son colineales
empleando la fórmula de la distancia
A
3, 2, 4
AB
6
B 3
2
AC
12
3
BC
12
6
1 2
2
2 3
6,1, 2 2
2 2
2
3 1
2
C 4
6
6
2
81 1 2
4 2
2
12, 3, 6 4
81 1
324
86 4
86
4 16
344
2 86
16. Determine los vértices del triángulo cuyos lados tienen los puntos medios en
3, 2, 3 ,
1,1, 5 ,
0, 3, 4
Sean los puntos medios D
3, 2, 3 E
Los puntos vértices del triangulo A FA a
DE f
e
d
1,1, 5
3, 2, 3 , B
F
0, 3, 4
1,1, 5 , C
0, 3, 4
a
d
e
f
3, 2, 3
0, 3, 4
1,1, 5
4, 2, 6
b
d
e
f
3, 2, 3
0, 3, 4
1,1, 5
2, 0, 4
c
d
e
f
3, 2, 3
0, 3, 4
1,1, 5
4, 4, 2
A
4, 2, 6
B
2, 0, 4
C
4, 4, 2
17. Para el triángulo que tienen vértices A
2, 5, 3
1, 7, 0 y
B
4, 9, 7 calcule (a) la longitud de cada lado, y (b) los puntos medios de
C
cada lado.
(a)
AB
2 1
AC
2
BC
2
2
4
1
2
4
2
5
7
5
9
7
9
2
2
3
0
3
7
0
7
9 144 2
9
162
36 196 16
2
9
4
49
9 2 248
2 62
62
(b) AB
1
2
1 ,
2 AC
5
1
7 ,
2
1
2
4 ,
2 BC
1
1
1
4 ,
2
1
0
2 5
9 ,
2
1
3
1
,1,
2 3
7
0
7
3 2
1, 2, 5
2
1
7
1
9 ,
2
5
2
, 8,
7
2
2
z1
z2
18. Demuestre el teorema 10.2.6.
P1 P
P1 P2
p
p1
p
1
w p2
p1
w p1
w p2
1
Sea w
2
1
p
p1
2
x1
p2
x2
,
y1
2
y2
,
2
2
19. Demuestre que cualquier ecuación de la forma x
2
y
x
x
h
2
2
z 2
Gx
2
Gx
y 1 4
k
G
2
Hy 2
z
y
2
Iz
l
0 puede expresarse en la forma
J 2
Hy
k. 1 4
H
z
2
lz
1 4
l
2
1 4
G
2
H
2
I
2
4j
1
x
2
G
1
y
2
x
2
H
z
2 2
h
y
Cuando 1 h G, k 2 1 2 K G H 4
1
z
1
H,
L
2
1
G
2
H
2
I
2
4J
4
K 1
2 2
L
2
2
k
2
1
2
L
2
4J
En los ejercicios 20 a 25, determine la gráfica de la ecuación. 20. x
2
x
2
y
x
2
y
4
21. x
2
2
z
x x
y
y 2
2
z 2
8x 4
2
2
8y
8y
16
2
2
3
8x
2
2
2
0
6z
2
4y
y 2
25
z
z
16 y
6z
25 16
9
50
2z
4y z
9
4
4 1
2
0
z 25
2
2z
1
4 16
4 1
2
22. x
x
2
y 2
2
z
x
1
x
y
3z
2
y
2
1
y
4
1
y
2
2
y
2
x
2
y
2
24. x
2
y
2
x
2
8x 4
2
z
z
2
3z
2
6z
3
z
z
3
2
8x
16 y
2
2
1
1
9
4
4
4
3 4
0
0
10 y
y 5
2
2
9
9 4
2
2
23. x
x
z
4
2
1
x
0
2
2
4z
10 y z
2
13
25 2
0
z 32
2
4z
4
13 16
4
25. x
2
x
y 2
2
z
6x
x
3
2
6x
9
2
2y
y
y
1
2
2
4z
2y z
19
1 2
0
z
2
2
4z
4
19
9 1
4
5
En los ejercicios 26 a 28, obtenga una ecuacion de la esfera que satisfase las condiciones iniciales. 26. Uno de los diámetros es el segmento de la recta que tiene extremos en 6, 2, 5 y
4, 0, 7 .
A h1 , k1 , l1
y B h2 , k 2 , l 2
P x, y, z APB
AP
2
BP
2
AB
2
x
h1
2
2
y
k1
2
z
l1
2
x
h2
2
y
k2
2
z
l2
2
h2
h1
2
k2
k1
2
l2
l1
2
x
2
h1
6, 2, 5
h2 x
h1 h2
4, 0, 7
x
y
6
2
k1
x
4
k2 y
y
2
k1 k 2
y
0
27. Es concéntrica con la esfera que tiene la ecuación x y tiene radio 3.
x
2
y
x
2
y
2
2y
1
2
1
z
z
2
8z
2
4
16
z
z 2
y
2
l1
5 2
z z
2
l2 z
l1 l 2
7
0
2y
8z
9
0
0,
9 1 16
26
28. Contiene los puntos 0, 0, 4 , 2,1, 3
y 0, 2, 6 y su centro se encuentra en el
plano yz .
Gx
Hy
Lz
J
x
2
y
2
z
2
El centro es en el plano yz entonces G
Hy
Lz
J
x
0, 0, 4
2
y
2
z
0
2
4I
J
16
2,1, 3
H
3I
J
14
0, 2, 6
2H
6I
J
40
Resolviendo el sistema J
x
12 2
y
2
z
2
I
7
H
5y
7z
En los ejercicios 29 a 34, A 29. Calcule a. A
7 c.
30. Calcule a. 2 A
5 4, 3, 1
5, 3, 5
2A
4, 3, 1 , C
5, 3, 5 , y D
2,1, 6 .
1, 2, 3
20, 15, 5
21, 13, 2
5
2,1, 6
35, 21, 35
10, 5, 30
25, 26, 5
5D
5, 3, 5
5
2,1, 6
7 25
9
25
5 4 1 36
C
2 1, 2, 3 b.
1, 2, 3 , B
5D
7C
7
12
5B
1, 2, 3 b. 7 C
5
5, 3, 5 C
2, 4, 6
5, 3, 5
7, 7,1
7 59
5 41
2 1 c.
2
2
2
4B
3
6C
4B
31. Calcule a. C
6
6C 2
4 4
5
3
3D
2
5
5, 3, 5
2
1
2
6 5
2
2 14
59
2
2,1, 6
16, 12, 4
30, 18, 30
4, 2, 12
2
3
2
5
2
2 2
2
1
2
2
6
4 26
6 59
2 41
8A
3
2,1, 6
5, 3, 5 C
1
9 16
4
9 1
3, 4, 1
C
3 1, 2, 3
19, 16, 1
3, 4, 1
3, 4, 1
2B
8, 16, 24
D
14 26
2 91
8 1, 2, 3
6, 3,18
A B
32. Calcule a. 3 A
3
2D
5, 3, 5
b.
2
2D
4 4, 3, 1
d.
2
2
2
7 13
3, 4, 1
6 91, 8 91, 2 91
12D
2 4, 3, 1
3, 6, 9
5, 3, 5
8, 6, 2
5, 3, 5
12
2,1, 6
24, 12, 72
14, 3, 56 b.
A C
B D
A
14
5, 3, 5
1
26
2
2
2
3
2
2,1, 6
14
5 14
B
2 26 , 3 14
4
2
3
2
26 , 5 14
1
6 26
33. Determine los escalares a y b tales que
a A
a
B
b C
1, 2, 3
D
0
4, 3, 1
a 5, 1, 2
b
b
7, 2,11
5, 3, 5
2,1, 6
0, 0, 0
0, 0, 0
Formando un sistema 5a 7b 0 a 2b 0 2 a 11b 0
Resolviendo el sistema se tienen
34. Determine los escalares a, b y c tales que aA
bB
cC
D
a
0 b
0
2
26
1 0, 32,14
a 1, 2, 3
a
b 4, 3, 1
c
5, 3, 5
2,1, 6
Formando un sistema a 4b 5c 2 2 a 3b 3 c 1 Resolviendo el sistema se tienen 3 a 3b 5 c 6 141 16 67 , b , c 129 129 129
En los ejercicios 35 a 38, determine los cosenos directores del vector V P1 P2 verifique las respuestas al mostrar que la suma de sus cuadrados es 1. 35. P1
3, 1, 4 ; P2 7, 2, 4 V P1 P2 7 3, 2 1, 4 V P1 P2
16 4
cos
9
4
64
89 3
, cos
89
cos
2
cos
16
9
64
89
89
89
36. P1
89 2
cos
2
2
2, 4 16
2
co s
1
6,1 5
4
16
2
1
4
9
9
9
2
cos
2
V P1 P2
2
V P1 P2
1
2, 4, 8
4, 4
36 6
1
3, 8 1 49
cos
2
86
cos
2
6, 1, 7
86 1
, cos
86 2
3
1
4, 3, 1 ; P2
cos
2
, co s
3
cos
4
4, 2, 4
6 1
, co s
3
cos
89
1
V P1 P2
37. P1
8
, cos
2, 6, 5 ; P2 2, 4,1
V P1 P2
cos
4, 3, 8
1
, cos
7 86
y
36
1
49
86
86
86
1
38. P1 1, 3, 5 ; P2 2, 1, 4
V P1 P2
2 1, 1 3, 4
V P1 P2
1 16 1
co s
1
5
1, 4, 1
18
3 2
2
2 , co s
6
1
2 , co s
3
2
32
2
36
36
36
2
6
1
39. Utilice los puntos P1 y P2 del ejercicio 35 y obtenga el punto Q tal que V P1 P2 3 V P1 Q .
V P1 P2
3 V P1 Q
4, 3, 8
3 x
3, y
1, z
4
13
3x
9
4
x
3y
3
3
y
3z
2
8
z
3 0
El punto es Q
13 3
4
, 0,
4 3
3
40. Utilice los puntos P1 y P2 del ejercicio 38 y obtenga el punto R tal que V P1 R 2 V P2 R r
3r
P1
2 r
P1
P2
2 P2
2r
1, 3, 5
2 2, 1, 4
5,1,13
5 1 13 , , 3 3 3
R
41. Dados P1 3, 2, 4 y P2 4 V P1 P2 3 V P2 P3
P3
x, y, z 4 V P1 P2 4
2 P2
5
3, 4
32, 8, 24
5, 4, 2 , determine el punto P3 tal que
3 V P2 P3
2, 2
4
3 x
3 x 15, 3 y
Formando un sistema
5, y
4, z
12, 3 z
2 6
3 x 15 32 3 y 12 8 3 z 6 24
42. Dados P1 V P1 P3
y
3
4
, z
6
3
7, 0, 2 y P2 2, 3, 5 , determine el punto P3 tal que 5 V P2 P3
P1
4 P3
P3
,
17 4 , , 6 3 3
P3
P3
17
Se tiene x
5 P3
5 P2
1 3
P3
P1
5 P2
4
P2
1
P1
3, 15, 27
4
15 27 , 4 4
,
4
En los ejercicios 43 y 44, exprese el vector en términos de su modulo y de sus cosenos directores. 43. a
6i
Sea
2j
3k
la dirección del ángulo del vector. V
, ,
a
cos
b
cos
V
V
V
A
V
cos
36
i
4
cos
9
6
cos
j
49
6
7
i
7
b
2i
A A
2
3
j
14 1
i
14
44. a
A
2i
2j
4
k
3k
2
14
7
7
4 1 9
j
14
k
4 1
9
k
3
cos
7 7
j
cos
3
3 14
k
bj
ck c V
7 2
cos
7 A
cos
ai
A
2
3
2
i
3
b
3i
A
3
4j
A
1
j
k
3
5k
9 16
25
3
4
P1
i
5 2 5
k 5 2 5 2 5 2 En los ejercicios 45 y 46, obtenga el vector unitario que tiene la misma dirección de V P1 P2
45. a
5 2
50
4, 1, 6
V P1 P2
5
V P1 P2
U
b
1
U
4
,
3
6
16
1, 8, 4
81
9
P1
1
4, 7, 5
2, 7
4
4
5, 5 4
2, 2, 2
12
2 3
3
3, 0, 1 y P2
3
V P1 P2
3
1
,
3
V P1 P2
b
64
2, 5, 3 y P2
P1
V P1 P2
U
1, 2
1 8 4 , , 9 9 9
V P1 P2
46. a
y P2 5, 7, 2
4, 7 1
j
36
3, 8 64
3, 8, 1
0, 1 1 0
100
6, 8, 0 10
3 4 , ,0 5 5
P1
V P1 P2 V P1 P2
8, 5, 2
3 25
y P2
8, 9 16
3, 9, 4
5, 4
2
5, 4, 2
4
45
3 5
5
U
4
,
2
,
3 5 3 5 3 5
En los ejercicios 47 y 48, demuestre la propiedad si A , B y C son tres vectores cualesquiera de V 3 y c es cualquier escalar. 47. A
a1 , a 2 , a 3
a) A
B
A
B
B
B
b1 , b2 , b3
A
a1
b1 , a 2
b2 , a 3
b3
b1
a1 , b 2
b) Existe un vector 0 en V 3 para el cual A
0
0, 0, 0
A
0
a1
0, a 2
d) c A c A
B
A
a1
B
cA
c a1
0
a1 , a 2
B
A
A
A
a 2 , a3
a3
A
a1 , a 2 , a 3
A en V 3 tal que A
c) Existe un vector A
0, a 3
0
a 2 , b3
0
a3
0, 0, 0
0
cB
b1 , a 2
b2 , a 3
ca1
b3
cb1 , ca 2
ca1 , ca 2 , ca 3
c a1
cb2 , ca 3
b1 , c a 2
b2 , c a 3
b3
cb3
cb1 , cb 2 , cb3
cA
cB
b1 , b2 , b3
C
c1 , c 2 , c 3
48. A
a)
A
A
b)
B
B a1
a1 , a 2 , a 3
C
C
A
B
B
C
a1 , a 2 , a 3
b1
c1 , a 2
a1
b1 , a 2
A
B
b2 , a 3
b1 , b2 , b3
b2
c2 , a3
b3
b3
c1 , c 2 , c 3
c1 , c 2 , c 3 c3
a1 , a 2 , a 3 a1
b1
a1 , a 2 , a 3
c1 , a 2
b1 , b 2 , b3
b1 b2
c1 , b 2
c 2 , b3
c3
b3
c3
c2 , a3
c1 , c 2 , c 3
C
cd A
c dA
cd A
cd
a1 , a 2 , a 3
c da1 , da 2 , da 3
c dA
cd a1 , cd a 2 , cd a 3
c da 1 , c da 2 , c da 3
c)
c
d A
cA
c
d A
c
ca1
dA d
a1 , a 2 , a 3
da1 , ca 2
c a1 , a 2 , a 3
da 2 , ca 3
c da 3
d a1 , a 2 , a 3
d a1 , c
d a2 , c
ca1 , ca 2 , ca 3
cA
d a3
da1 , da 2 , da 3
dA
49. Demuestre mediante geometría analítica que las cuatro diagonales que unen los vértices opuestos de un paralelepípedo se bisecan mutuamente.
50. Si P, Q, R y S son cuatro puntos del espacio tridimensional y A, B, C y D son los puntos medios de PQ , QR , R S y S P , respectivamente, demuestre mediante geometría analítica que A B C D es un paralelogramo. Si P , Q , R , S 3
R A, B , C , D
corregir
PQ , QR , R S y S P
a
1
p
1
q , b
2
AB
q
1
r , c
2
b
a
1
r
p
c
r
1
s , d
2 DC
d
s
p
2
2
51. Demuestre mediante geometría analítica que las cuatro diagonales de un paralelepípedo rectangular tienen la misma longitud.
A 0, 0, 0 , B a , b , c , C a , b , 0 , H a , 0, 0 , G 0, b , c , E a , 0, c , F 0, b , 0 AB
a
0
CH
a
0
DG
a
0
EF
0
a
2
2
2
2
b
0
0
b
b
0
b
0
2
2
2
2
c
0
0
c
0
c
0
c
2
2
2
2
a
2
b
2
c
2
a
2
b
2
c
2
a
2
b
2
c
2
a
2
b
2
c
2
52. Se dice que tres vectores en V 3 son independientes si y solo si sus representaciones de posición no están en un plano; también se dice que tres vectores E 1 , E 2 y E 3 , forman una base para el espacio vectorial si y solo si cualquier vector de V 3 puede expresarse como una combinación lineal de E 1 , E 2 y E 3 , . Se puede transformar un teorema que establece que tres vectores
forman una base para el espacio vectorial V 3 si son independientes. Muestre que este teorema se cumple para los tres vectores 1, 0, 0 , 1,1, 0 y 1,1,1 haciendo lo siguiente:
a Verifique que los vectores son independientes demostrando que sus representaciones de posición no son coplanares; b verifique que los vectores forman una base probando que cualquier vector A puede expresarse como
A
r 1, 0, 0
s 1,1, 0
Donde r , s y t son escalares. c Si A
10
t 1,1,1
6, 2, 5 determine los valores
particulares de r , s y t , tales que cumple (10)
53. Consulte el ejercicio 52. (a) Verifique que los vectores 2, 0,1 , 0, 1, 0
y
1, 1, 0 forman una base para V 3 al demostrar que cualquier vector puede expresarse como
A
r 2, 0,1
s 0, 1, 0
Donde r , s y t son escalares. (b) Si A
t 1, 1, 0 2, 3, 5
11
determine los valores
particulares de r , s y t , tales que cumple (11) a) Sea A
r 2, 0,1 2r t a s t b r c t a 2c s 2c a
a, b, c
a, b, c s 0, 1, 0
t 1, 1, 0
a, b, c
b
c 2, 0,1
2c
a
b
0, 1, 0
a
2c
1, 1, 0
b) a
2, b
3, c
r
5
s
2 5
2
t
2
2 5
5
3
9 12
54. Refiérase al primer enunciado del ejercicio 52. Se puede demostrar un teorema que afirma que tres vectores de V 3 forman una base para el espacio V 3 solo si son independientes. Muestre que este teorema es válido para los tres vectores
F1
1, 0,1 , F2
1,1,1
y F3
2,1, 2 realizando lo siguiente: (a) Verifique
que F1 , F 2 , F3 no son independientes al demostrar que sus representaciones de posición son coplanares: (b) verifique que los vectores no forman una base
probando que no todo vector de V 3 puede expresarse como una combinación lineal de F1 , F 2 , F3 (es decir no generan el espacio vectorial)
a)
F3
b)
r 1, 0,1 r s r
F1
s t s
F2
s 1,1,1
2t b 2t
t 1,1,1
a, b, c
a c
55. Demuestre el teorema 10.2.14
U
a1
a2
i
A
a3
j
A
1
Por que
A
k
1
A U
A
1
A
1
A
0
A
56. Si las medidas en radianes de los ángulos directores de un vector son iguales, ¿cuál es la medida de cada uno? Explique como llego la respuesta.
cos
2
cos
2
cos
2
1 3 1
cos
3 co s
1
1 3
cos
2
1
EJERCICIOS 10.3 En los ejercicios 1 a 4 calcule A B 1. a)
A
1, 2 , B 1, 2
b)
A
4, 3
2i
2i
4, 3 1
j, B
j
i
i
4
2 3
10
3j
3j
2 1
1 3
1
2. a)
1
A
1
,
3
1 3
b)
2
1
,
5 4 , 2 3
2
A
5 4 , 2 3
, B
2i, B
2i
i
i
1 5
1
4
1
3 2
2
3
6
j
j
2
1
0 1
2
3.
a)
2 1 , , 5 4
A
2 1 , , 5 4
b) A
3j
3j
3
1 3 1 , , 2 5 2
,
2
3
1 3 1 , , 2 5 2
2
2k , B
2k
i
i
j
2
1
1
3
3
1
2
5
2
4 5
2
2
5
3k
j 3k
0 1
3 1
2
3
9
4. a)
A
4, 0, 2 , B
4, 0, 2 b)
A
3i
3i
5, 2, 1
4 5
2j
k, B
k
6i
2j
5. Demuestre que i i i i
5, 2, 1
1, 0, 0
6i
7j
7j
1 1
2
1
18
2k
2k
1, i k
1, 0, 0
0 2
3 6
2 7
0 y j k
0 0
0
0 0
1
i k
1, 0, 0
0, 0,1
1 0
0 0
0 1
0
j k
0,1, 0
0, 0,1
0 0
1 0
0 1
0
6. Demuestre que j j j j k k i j
0,1, 0 0, 0,1 1, 0, 0
0,1, 0 0, 0,1 0,1, 0
1, k k
0 0 0 0 1 0
0e i j
1 1 0 0 0 1
0
0 0
1
1 1 0 0
1 0
1 2
6
En los ejercicios 7 a 10, demuestre el teorema para vectores de V 3 Sea A
a1 , a 2 , a 3 , B
b1 , b2 , b3 , C
c1 , c 2 , c 3
7. Teorema 10.3.2(i) A B
a1 , a 2 , a 3
b1 , b2 , b3
a1 b1
a 2 b2
a 3 b3
b1 a1
b2 a 2
b3 a 3
8. Teorema 10.3.2(ii) A
B
C
a1 , a 2 , a 3
a1 b1
b1
c1
c1 , b2
a 2 b2
a1 b1
a 1 c1
a1 b1
a 2 b2
A B
A C
c 2 , b3
c2
a 2 b2
c3
a 3 b3
a2 c2
a 3 b3
a 1 c1
c3
a 3 b3 a2 c2
a3 c3 a3 c3
9. Teorema 10.3.3(i) c A B
c
a1 , a 2 , a 3 c a1 b1
b1 , b 2 , b3
c a 2 b2
ca1 b1
a 2 b2
a 3 b3
c a 3 b3
ca 2 b 2
ca1 , ca 2 , ca 3
c a1 b1
ca 3 b3
b1 , b 2 , b3
cA
B
0 a3
0
10. Teorema 10.3.3(ii), (iii) Teorema 10.3.3 (ii) 0 A
0, 0, 0
0 A
a1 , a 2 , a 3
Teorema 10.3.3 (iii)
A A
a1 , a 2 , a 3
a1 , a 2 , a 3
11.
A A B
4, 3 , B 4
3
A
16
B
1 1
1, 1 1
9
0 a1
A A
En los ejercicios 11 y 12, si
a)
0
5 2
A
0 a2 2
2
2
2
a1 , a 2 , a 3
A
2
es el ángulo entre A y B , calcule cos
b1 , b2 , b3
a1 , a 2 , a 3
B A
A B
cos
A
b)
A
5i
B
12 j, B
A B
1
1
5 2
10
4i
3j
20
36
16
A
25
144
13
B
16
9
5
A B
cos
2
A
B
16
16
13 5
65
12. a)
A
2, 3 , B
A B
2 3
3 2
A
4
9
13
B
9
4
13
6
A B
co s
A
b)
3, 2
A
2i
6
B
2 0
5j
4
A
4
16
B
0
25
5
20
20
2 5
5
A B
co s
A
13
13 13
4 j, B
A B
6
B
20
2
2 5 5
5
5
13. Determine el valor de k tal que la medida en radianes del ángulo entre los 1 vectores del ejemplo 2 sea 4 A
A B
A
3i
2 j, B
2i
kj
1
B cos
4
6
2k
13 4
k
2
1
2
2 72 5k
48 k 2
5k k
8k
48 k 2 2
2
20
k k
10
52
3k
2
0 0
10
5
14. Sean A k i 2 j y B k i 6 j , donde k es un escalar. Obtenga el valor de k tal que A y B sean ortogonales.
A y B son ortogonales
12
0
ki
2j
ki
6j
k
2
12
2 3
15. Sean A
kj y B
5i
6 j , donde k es un escalar. Obtenga el valor de k tal
ki
que (a) A y B sean ortogonales, y (b) A y B sean paralelos. a) A y B son ortogonales
0
5k
6k
0
k
0
b) aA
B
a 5i
kj
ki
6j
Ningún valor de k
5a k ak 6 5a
2
6
16. Determine el valor de k tal que los vectores del ejercicio 14 tengan direcciones opuestas. A
ki
A
cB
ki
2j
6c
2 j, B
c ki
ki
6j
6j
2
ck i
6cj
1
c
3 k c c
ck 1 k 1
0
0
k
0
17. Si A
8 i 4 j y B 7 i 6 j , calcule (a) la proyección escalar de A sobre B , y (b) el vector proyección de A sobre B . A B
8
7
4
6
A
64
16
4 5
B
49
36
85
a)
b)
AB
AB
A B
80
B
85
A B B
80
2
B
80
7i
6j
85
112 17
i
90
j
17
18. Para los vectores del ejercicios 17, (a) obtenga la proyección escalar de B sobre A y, (b) el vector proyección de B sobre A . a)
BA
A B
80
A
4 5
4 5
b)
A B
BA
80
A
A
8i
4j
8i
4j
80
19. Determine la componente del vector en la dirección del vector A dirección del vector B A B
AB
35
B
7i
6
49
j
29
1
6 j en la
5i
29
2
10
50
20. Para los vectores A y B del ejercicio 19, calcule la componente de en la dirección de B en dirección de A . 5i
A B
BA
A
6j
7i
5i
6j
En los ejercicios 21 a 26, A
j
5 7
6 1
25
29
36
4, 2, 4 ; B
61
2, 7, 1 ; C
6, 3, 0
y D
5, 4, 3
21. Obtenga a)
A
B
C
4, 2, 4 b)
A B
2, 7, 1
6, 3, 0
2, 7, 1
6, 3, 0
26 18 A D
5, 4, 3
8 12
D B A
28
A B
4
8
30 12
0
6, 3, 0 40
9
31
3
4, 2, 4
4, 2, 4
5, 4, 3
20
8 12
4, 2, 4
2, 7, 1
40 2, 7, 1 80, 280, 40
84,198,124
A C
4, 2, 4
b)
21
2, 7, 1
164, 82,164
8 14
2, 7, 1
12
4, 2, 4
22. Obtenga a) A B
8 14
D A B
5, 4, 3
41
5, 4, 3
B C
20
10
32
468
4, 2, 4
d)
8, 4, 1
4
C D
4, 2, 4
c)
4, 2, 4
2, 7, 1 4
24
6
4, 2, 4 0
6, 3, 0
44
B C
4, 2, 4 8 14
2, 7, 1 4
12
2, 7, 1 21
0
6, 3, 0 26
9
234
2, 7, 1
0
44
c)
A B C
B C D
4, 2, 4
2, 7, 1
26 6, 3, 0 d)
2A
3B
6, 3, 0
2, 7, 1
9 5, 4, 3
4C
8, 4, 8
5, 4, 3
201, 42, 27
D
6, 21, 3
23. Calcule (a) cos
6, 3, 0
si
24, 12, 0
5, 4, 3
2,17, 5 19, 16, 3
es el ángulo entre A y C ; (b) la componente de C en la
dirección de A ; (c) el vector proyección de C sobre A A C
4, 2, 4
6, 3, 0
A
16
4
16
C
36
9
0
a)
24
45
A
A C
b) C A
A
18
3 5
18
C
1 5
6 3 5
18
A
2
0
6
A C
cos
6
4, 2, 4
2,1, 2
36
24. Determine (a) cos
si
es el ángulo entre B y D ; (b) la componente de B
en la dirección de D ; (c) el vector proyección de B sobre D . B
2, 7, 1
4
D
5, 4, 3
25
B D
a)
2, 7, 1
c)
16
9
50 7 4
41
41
D
54 50
90
B D
41
41
D
50
10
B D
BD
54
2 5
B D
cos
BD
1
5, 4, 3
B
b)
49
D
2
D
41
2
1
1
41
3
2
41 82 123 , , 10 25 50
5, 4, 3
50
25. Obtenga (a) la proyección escalar de A sobre B ;(b) el vector proyección de A sobre B .
A B B
a)
4, 2, 4 4
AB
49
1
2, 7, 1
8 14
54
3 6
A B
26
13
B
3 6
9
6
4
26
295
b)
A B
AB
B
26
B
2
26
2, 7, 1
54
91 13 , 27 27
,
27
26. Calcule (a) la proyección escalar de D sobre C ; (b) el vector proyección de D sobre C .
C D
6, 3, 0
C
a)
b)
36
DC
9
0
30 12
18
6
C
3 5
5
2
C
0
18
3 5
C D
C D
DC
5, 4, 3
18
C
5
12
6, 3, 0
45
6
,
5
27. Calcule la distancia del punto 2, 1, 4
3, 2, 2 y V AP 2 V AP V AP V
a la recta que pasa por los puntos
9, 6, 6 . 1,1 1 1 AB
V AB
d
,0
5
2
V AB V AB
6 36
38
12
4
24
V AP
2
144
16
16
176
16
V AB
V AB
12, 4, 4
256
402
1
176
11
11
38
2
4422
28. Determine la distancia del punto 3, 2,1 a la recta que pasa por los puntos y
1, 2, 9 AP c AB
3, 2,1 1, 2, 9 AP 4 0 64
2, 0, 8 68
3, 6, 3 1, 2, 9 AP AB A PA B AB
AD
d
3, 6, 3 .
c
2
a
2
68
4, 8, 12 8 16
0
96
64
144
484
234
1
14
7
2
1638
88
22
4 14
14
29. Pruebe, empleando vectores, que los puntos 2, 2, 2 ,
2, 0,1 ,
4,1, 1 y
4, 3, 0 son vértices de un rectángulo.
V BC V AB
V AD
2,1, 2 V AD
0, 2, 1
2,1, 2
0
30. Demuestre, utilizando vectores que los puntos
2, 2, 2 , AD
0,1, 2 ,
1, 2, 1
3, 0,1 son los vértices de un paralelogramo.
1, 3, 3 , CB
A D B C es paralelogramo
31. Determine el área del triangulo cuyos vértices son V AB V AP
V AB
2
2
15
4
2
42
16
2
21
V AP
V AB 21
25 4
V AB
V AP 14
1
14
2
1
2 1
9
5, 4,1
bh
1
3, 1, 2
2
3, 1, 2 2
V AP
A
2
2, 3,1 , 1, 2, 3 ,
2
2
42
V AP
2
V AB
V AB
V AP
V AB
2
9
7
2
1
6
7
2
2
2
2
3
2
32. Demuestre, empleando vectores, que los puntos
2,1, 6 ,
2, 4, 5 ,
1, 2,1
son los vértices de un triángulo rectángulo, y determine el área del triángulo. AB 2, 4, 5 AC 1, 2,1 AB AC 4 1
Área
2,1, 6
3 1 AB AC 2
4, 3, 1
2,1, 6
1, 3, 5
3 1 2
1 16
5 9
1 1
0 9
25
1 2
26 35
1
910
2
33. Determine dos vectores unitarios que tengan una representación cuyo punto inicial sea el punto 2, 4 , y que sean tangentes a la parábola y punto.
x
2
en ese
y y y
2
x 2x
1, 4
U
2
1, 4
1 16
4
17
34. Determine dos vectores unitarios que tengan una representación cuyo punto inicial sea el punto 2, 4 , y que sean normales a la parábola y
x
2
en ese
punto.
y y
2
35. Si A
1
tan
x 2x
4
4 cos i
3i
5j
sin
3k , B
i 2C .
A
2C
2 2i
B
A A
3i
5 j 3k
2C 2C
17
j
2j
B en la dirección A
1
i
3k , C
j
17
2i
4k
i
17
i
1
j
17
4 k , obtenga la componente de
j
7 j 11k
1 14
33
46
46
1
121
171
57
49
4
j
19
36. Calcule los cosenos de los ángulos del triángulo que tiene vértices en
A 0, 0, 0 , B 4, 1, 3 , C 1, 2, 3 . a b c
BC AC AB
cos A
3, 3, 0 1, 2, 3
1
4, 1, 3
b
2
c
2
a
2
2 bc co s B
a
2
c
2
a
2
b
2
2 ab
9 4
16
14
26
2 14 b
2
2ac cos C
9
c
2
18
26
0 9
3 2 14
1
9
18 26
26
11 14
11
91
182
26
14
5
5
2 3 2
26
2 13
26
18
14
26
1
1
2 3 2
14
2 7
14
13
7
37. Un vector F representa una fuerza que tiene una intensidad de 8lb y su 1 dirección esta determinada por el ángulo cuya medida en radianes es . 3 Determine el trabajo realizado por la fuerza al desplazar un objeto (a) a lo largo del eje x desde el origen hasta el punto 6, 0 , y (b) a lo largo del eje y desde el origen hasta el punto 0, 6 . La distancia se mide en pies.
F
1
8 cos
i
1
sin
3
j
4i
4 3j
3
a)
W1
F
6, 0
4, 4 3
6, 0
24
b)
W2
F
0, 6
4, 4 3
0, 6
24 3
38. Un vector F representa una fuerza una intensidad de 1 0 lb y su dirección esta 1 determinada por el ángulo cuya medida en radianes es . Calcule el trabajo 4 realizado por la fuerza al desplazar un objeto desde el punto 0, 2
hasta el
punto 0, 5 . La distancia se mide en pies.
W
F D
1
10 cos
i
1
sin
4
j
5
2
j
10
4
1
2 7
35 2
2
39. Un vector F representa una fuerza una intensidad de 9 lb y su dirección esta 2 determinada por el ángulo cuya medida en radianes es . Determine el trabajo 3 realizado por la fuerza al desplazar un objeto desde el origen hasta el punto
4, 2 . La distancia se mide en pies.
F
9 cos
2
i
2
sin
3
W
F
9
j
3
2
9 9 , 2 2
4, 2
i
3
4, 2
9
3j
2
18
40. Dos fuerzas representadas por los vectores F1
9 3
2.41
F 2 actúan sobre una partícula
ocasionando que se desplace a lo largo de una recta desde el punto 2, 5 el punto 7, 3 . Si F1
3i
j
F2
4i
hasta
5 j , y si las intensidades de las fuerzas
se miden en libras y la distancia en pies, calcule el trabajo realizado por las dos fuerzas al actuar juntas.
D W
b
a F1
7, 3 F2
2, 5
D
3i
5i j
2j 4i
5j
D
i
4j
5i
2j
1 5
4
2
41. Si una fuerza tiene la representación vectorial F 3i 2 j k , calcule el trabajo realizado por la fuerza al desplazar un objeto a lo largo de una recta desde el punto P1
2, 4, 3 hasta P2 1, 3, 5 . La intensidad de la fuerza se mide en libras
y la distancia en pies.
13
F V P1 P2
W
3i
2j
k
3i
7j
2k
9
14
2
25
42. Si una fuerza tiene la representación vectorial F 5 i 3 k , calcule el trabajo realizado por la fuerza al desplazar un objeto a lo largo de una recta desde el punto P1
4,1, 3 hasta el punto P2
5, 6, 2 . La intensidad de la fuerza se mide
en libras y la distancia en pies.
W
F D
5i
3k
5, 6, 2
4,1, 3
5, 0, 3
9, 5, 1
42
43. Un vector F representa una fuerza que tiene una intensidad de 1 0 lb , y los 1 1 6 y cos 6 . Si la fuerza desplaza cosenos directores de F son co s 6 3 un cuerpo a lo largo de una recta desde el origen hasta el punto 7, 4, 2 , calcule el trabajo realizado. La distancia se mide en pies. 1
cos
6,
1
cos
6 2
1
6
3 2
1
6
6
6
cos
2
1
3
1
2
6
3
F
10
cos
2
1
1
cos
6
6 1
6i
6
1
6j
3
1
6k
6
44. Si A y B son vectores diferentes del vector cero, demuestre que el vector A A B es ortogonal a B si c . 2 B
cB
A cB B 0 A B cB B 0 A B c
c B
2
0
A B B
2
45. Si A
12 i 9 j 5k B 4 i 3 j 5 k , emplee el resultado del ejercicio 44 para determinar el valor del escalar c de modo que el vector B c A sea ortogonal a A. c
B A A
2
4i
3j
5k 144
12 i 81
25
9j
5k
48
27 250
25
100
2
250
5
46. Para los vectores del ejercicio 45, utilice el resultado del ejercicio 44 a fin de calcular el valor del escalar d de modo que el vector A d B sea ortogonal a B 4i
B A
c
3j
2
B
5k 16
12 i 9
9j
5k
48
27
25
25
100
50
2
50
47. Demuestre que si A y B son dos vectores cualesquiera, entonces los vectores
A B y B A
B A B A
A B
2
B
2
A
A B son ortogonales.
B A 2
A
B
A B
2
B A
B A
A B
A B
0
48. Demuestre que si A y B son dos vectores cualesquiera diferentes del vector cero y C
A B , entonces el ángulo entre A y C tiene la misma medida en
B A
radianes que el ángulo entre B y C
A
U
B
V
A
B C
D A cos
cos
B
A
B
A
B U U
UD 1
U
D
V
1
D V U
VD 2
V
D
UV D
V
1
D
UV D
49. Demuestre que dos vectores diferentes del vector cero son paralelos si y solo si la medida en radianes del ángulo entre ellos es 0 o B
.
kA
cos a
0
A B
A kA
A
A
B
k A
k A A
kA
k
A
2
k
A
1
2
2
1
2
a A B
cos
A
1
B 2
A A
B
A A
B
2
A
B
A
B
B
B A
A 0
A
2
A B A
B
B B B
2
1
0
50. Demuestre, mediante análisis vectorial, que las medianas de un triangulo son concurrentes, es decir coincides en un punto. Las medianas del triangulo A B C en el punto. g
1
2
2 1
a
3
3
b
2
1
1
c
2
a
3
1
b
3
1
c
3
51. Demuestre, mediante análisis vectorial, que el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud del tercer lado. PQ
q
p
1 2
a
c
1
a
1
b
2
c
b
2
1 BC 2
52. Demuestre, mediante análisis vectorial, que el segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a los lados paralelos del trapecio y su longitud es la mitad de la suma de las longitudes de los lados paralelos. OE
1 1 1 1 OA OD y OF OB OC 2 2 2 2 1 1 1 1 EF OF OE OB OC OA OD 2 2 2 2 1 1 1 OB OA OC OD 2 2 2 1 1 AB DC 2 2 DC k AB 1 1 1 EF AB k AB 1 k AB 2 2 2 1 1 EF 1 k AB 1 k AB 2 2 1 1 AB k AB AB k AB 2 2 1 AB DC 2
53. La ley de refracción de Snell trata sobre la luz que atraviesa de un medio, tal como el aire, a otro medio más denso, tal como el agua. La ley establece que la parte del rayo luminoso que pasa por el medio más denso será refractado (“desviado”) hacia la normal. Observe la figura adjunta donde 1 es el ángulo de incidencia y
2
es el ángulo de refracción. De la ley de Snell. sin
1
sin
2
Donde es el índice de refracción del medio más denso. Demuestre que si A es un vector unitario a lo largo del rayo incidente, B es un vector unitario a lo largo del rayo refractado, F es un vector unitario en la interface y N es el vector normal unitario en la interface como se muestra en la figura, entonces A F B F 0
54. Demuestre la desigualdad de Cauchy-Schwarz: Si A y B son dos vectores cualesquiera, entonces
A B
A B
Donde la igualdad se cumple si y solo si existe un escalar c tal que A decir, A y B son paralelos.
xA
B
B
xA
0
xA x
2
0
B 2
A
2
2A B
c B , es
2
xA
B
2 xA B 4 A
2
B B
2
xA
2
B
x A A
2 xA B
B B
2
0
A B
2
A
2
B
2
A B
A B
55. Demuestre el siguiente teorema: si A y B son dos vectores cualesquiera, entonces A A
B
2
A
B
A
B
B
2
A
A A
2
2A B
2A B
2
B
B B
2
A
2A B
B
2
56. Demuestre el teorema de Pitágoras: A
B
2
2
A
B
2
Si y solo si A y B son ortogonales. A B
0
A
2A B
B
2
A
2
B
2
A
B
2
A
2
B
2
57. Demuestre la ley del paralelogramo: si A y B son dos vectores cualesquiera, entonces A
B
2
A
B
2
2 A
2
2 B
2
¿Cuál es la interpretación geométrica de esta identidad? Sugerencia: observe la figura adjunta que muestra el paralelogramo determinado por las representaciones de los vectores A y B.
A
B
2
A A
A
2
B
2A B
A
B
B B
A
B
A A
A
2A B
B
A
B B
B 2A A
2B B
2 A
2
2 B
2
58. Demuestre la identidad de polarización: si A y B son dos vectores cualesquiera, entonces A
B
2
A
B
2
4A B
¿Cuál es la interpretación geométrica de esta identidad? Sugerencia: consulte la figura del ejercicio 57. 1 4 1
A
B
2
A
B
1
2
A
B
A
B
A
B
A
B
4 A A
2A B
B B
A A
2A B
B B
4
1
4A B
A B
4
59. En la teoría electromagnética, en ocasiones es necesario realizar lo siguiente: si E y H son dos vectores dados, escriba E como la suma de dos vectores E 1 y E 2 tales que E 1 sea paralelo a H y E 2 sea ortogonal a H. Defina y E 2 en esta situación. E1
EH
E2
E
E H H
2
H Es paralelo a H
E H Es ortogonal a H
60. La notación vectorial junto con el producto punto pueden emplearse para almacenar datos. Por ejemplo, suponga que una compañía de inversiones vende acciones de los tipos X, Y y Z. Sean a1 , a 2 , a 3 las componentes del vector A, respectivamente, las cantidades de acciones X, Y y Z vendidas un día específico. Sean s1 , s 2 , s 3 las componentes del vector S, respectivamente, las cantidades de dólares de los precios de venta de las acciones X, Y y Z en ese día. Entonces, si R dólares es el ingreso total obtenido por las tres acciones en ese día, R A S . Calcule el ingreso total obtenido por la venta de las tres acciones cada día de la semana, donde A y S se proporcionan en la tabla 1. Nota: puesto que una compañía no esta limitada a comerciar solo tres acciones, este ejemplo puede generalizarse para comercializar n acciones donde los vectores A y S tiene cada uno n componentes, de modo que A A S
a1 , a 2 , a 3 , ..., a n a1 s1
a2 s2
S a 3 s3
s1 , s 2 , s 3 , ..., s n ...
an sn
,y
Lunes
250,180, 310
25.50,16.80, 54.55
$26, 309.50
Martes
185, 210, 215
27.50,14.60, 61.25
$21, 322.25
Miercoles
400,120,180
21.20, 21.50, 66.50
$23, 030.00
Jueves
355,165, 200
23.40,18.50, 62.30
$23, 819.50
Viernes
370,145, 240
22.60,19.10, 61.75
$25, 951.50
EJERCICIOS 10.4
En los ejercicios 1 a 6, obtenga una ecuación del plano que contenga al punto P y tenga al vector N como vector normal. 1.
P 3,1, 2 ; N
1, 2, 3
1 x
1
x x
2.
3
P
3
y y
1 z
P
z 2 3 0
7 x
5
6 2 z 10 34 0
0
1
1 z
1 x
2
y
8
2
0
z
i
3 y
1
2 3y 3 4z 3y 4z 3 0
P 1, 0, 0 ; N
i
1 x
0
x
1 z
0 y 1
2
0
7, 1,1
P 2,1, 1 ; N
x x
0
0,1, 1
;N
z
0
0
1 y
0
2 z
1 y
1, 8, 3
7x
6.
2
P 0, 1, 2 ; N 0
2
6, 3, 2
3 y
18 3 y 3y 2z
0 x
5.
6
3, 2, 5 ; N
6x 6x
4.
3 z
3 2 y 2 3z 2 y 3z 1 0
6 x
3.
2 y
3
0
3j
4k
4 z
1
4
0
0
k 1 z
0
0
0
En los problemas 7 y 8, determine una ecuación del plano que contenga los tres puntos. 7.
3, 4,1 ; 1, 71, ;
1, 2, 5
E1 : F1
3a
E1
E2 : a F2
3E 3 7b
E2
c
2b
3d 23
16c
d 4d 24d
5b c 2d a 2b 5c d
E3
; b
c
92c
d
E3 :
a
4b
2d 23
; c
6d 23
3d
2d
x
y
23 23 3x 2 y 6z 8.
6d
z 23 23 0
0, 0, 2 ; 2, 4,1 ;
x
y
z
1
0
0
2
1
0
4
1
1
3
3
1
2 7x
14 z
28
d
0
2, 3, 3
0
2
1
0
2
1
0
0
1
0
0
2
x 4
1
1
y 2
1
1
z 2
4
1
2
4
1
3
3
1
3
1
3
1
3
3
2
0
x
2z
4
2
2
0
En los ejercicios 9 a 14, dibuje el plano y obtenga dos vectores unitarios normales al plano. 9.
2x
y
2z
6
0
El vector normal del plano es 2
Los vectores unitarios
4y
2z
4, 4, 2 2
9
3
11. 4 x
3
13 13
12. y
2z
16 12
,
0
1
0,1, 2
2z
6
, 0,
13
14. z z
13
3 12 , 13 13
4
5
,
5 2 5 , 5 5
0,
9 2
0 ;
13
5 5
0, 0,1 ;
13
0
3, 0, 2 3
144
4
5
13. 3 x
3
0
0,1, 2 1
2
9
;
13
4
6
0
4, 3, 12 ,
4
2 1 , , 3 3
3 y 12 z
4
0
16 16
1 2 , ; 3 3
,
1, 2
1 2 , ; 3 3
,
3
10. 4 x
2
0, 0, 1
4
13 3 13
, 0,
2 13
4
1
2 1 , , 3 3
2 3
4
3
En los ejercicios 15 a 20, obtenga una ecuación del plano que satisfaga las condiciones indicadas. 15. Perpendicular a la recta que pasa por los puntos 2, 2, 4 ; al punto
7, 1, 3 , y contiene
5,1, 2 .
A
2, 2, 4 ; B V AB 5, 3, 7
7, 1, 3
5,1, 2
x
5
5x
3 y
1
7 z
7z
14
0
3y
16. Paralelo al plano 4 x
4x
2y
4 2
z
d
2y
2y
1
z
5
d
z
1, 3, 1 c
y
0 y contienen los puntos
1, 3, 1
0
2, 2, 6 6c
0
Resolviendo el sistema
2x
7
B 0, 2, 1
2b
2c x
z
3y
0
A 2, 0, 5 ; V AB 2a
5
0, 2, 1
a, b, c 3b
d
0
El vector normal al plano es
a
0 y contiene al punto 2, 6, 1 .
1
0
17. Perpendicular al plano x 2, 0, 5
0
0
2 6
4x
2
2
c y
z
1
0
a
3b c 0 2 a 2b 6c c z
5
0
se tiene a
0
contiene al punto
a, b, c
2,1, 4
4, 0, 2 .
0
a, b, c
0
A B
B 3 a 3c 0 2 A 3b 6 c 0
c
1, a
1 x x
y
a, b, c
1, 1,1
4 2y
z
c
0
18. Perpendicular a cada uno de los planos x
N
2c b
1, b
2
2 y
0
2
0
1 z
A
a
B
2a
2
0
b
c b
0 4c
0
z
0; 2 x
y
4z
5
0 y
19. Perpendicular al plano yz , contiene al punto 2,1,1 y forma un ángulo de cos
2
1
rad con el plano 2 x
y
2z
3
0
3
Como es perpendicular al plano yz
b
0, b , c
2, 1, 2
2
0, b , c
2, 1, 2
3
b
2c
2 b
2
4 bc
4c
2
0
3b
b
0; b
2
c
2
N
0, b , c
2
4b
2
4c
2
4 bc 4
c
3
Cuando b 0 x
2
0; N 0 y
1
4
Cuando b
0, 0, c c z
; N
1
4
0,
3
0 x
4
2
0
z
1
c, c
3
c y
1
c z
1
0
4y
3z
1
0
3
20. Contiene al punto P V OP N
3, 5, 2
3 x 3x
y es perpendicular a la representación del vector
3, 5, 2
3
5 y
5y
2z
5
38
2 z
2
0
0
En los ejercicios 21 a 23, determine el ángulo agudo entre los dos planos 21. 2 x
y
2z
0;
6x
2, 1, 2
cos
22. 2 x
5
5y
2y
6, 2, 3
4
1
4
36
3z
1
0;
y
2, 5, 3
cos
4
3z
4
9
5z
3
9
0
4x
7y
4z
1
4y
0;
2
6 49
20
25
6
12
0
50.5º 23. 3 x
0
9
0,1, 5
25
8
0
38 26
8
8
3 7
21
3, 4, 0
cos 9
4, 7, 4
16
0
16
49
12 16
28
0
16 45
25 81
69.2 º 24. Calcule la distancia del plano 2 x ax 0
d
by 0 2
a
cz 0 b
2
d
c
2 2
2y 2 2
2
4
25. Obtenga la distancia del plano 5 x El vector normal al plano es N Q
6, 0, 0 ; P N V PQ
5,11, 2
N
0 al punto 2, 2, 4 .
4
6
4
6
11 y
2z
8, 6, 3
5,11, 2
2
3
1
5,11, 2 V PQ
2, 6, 3
d
6
z
30
0 al punto
2, 6, 3 .
8, 6, 3 40
66
6
32
25
121
4
150
16 6 15
26. Calcule la distancia perpendicular entre los planos paralelos 4x
8y
z
4 0
9;
4x
8 0
9
8y
6
d 16
81 1
z
6
15
5
9
3
27. Determine la distancia perpendicular entre los planos paralelos 4y
3z
6
P
0, 0,
0; 8 y
6z
0.
27
9 2
Q
0, 0, 2 ;
N
0, 4, 3
N V QP
d
0, 4, 3 0, 0,
5 3
2
N
2
0, 4, 3
28. Si a, b y c son diferentes de cero, y son las intercepciones x, y, z respectivamente, de un plano, demuestre que una ecuación del plano es x y z 1 a b c Ésta es la forma de intercepción de la ecuación de un plano a , 0, 0 ;
x
y
z
a
b
c 1
0, b , 0 ;
0, 0, c
Estos puntos reemplazando en la ecuación
1 0
0
1; 0
1
0
1; 0
0
1
1
En los ejercicios 29 a 36, obtenga ecuaciones para métricas y simétricas para la recta que satisface las condiciones indicadas.
29. Pasa por los puntos 1, 2,1 ; P1
1, 2,1 ; V P1 P2
V x y z
P2
5, 1,1 .
5, 1,1
4, 3, 0
1 4t 2 3t 1
x
1
y
4
2
; z
1
3
30. Pasa por el punto 5, 3, 2 con números directores 4,1, 1 P 5, 3, 2
x y z
5 3 2
V
4,1, 1
4t t
x
5
y
4
3
z
1
2 1
31. Pasa por el origen y es perpendicular a la recta
1 4
intersección. 1 1 x 10 y 4 3 x 10 4 t y 3t z 2t
1
z
x
10
1 3
y
1
z en su
2
t
2
P 4 t 10, 3 t , 2 t V OP 4 t 1 0, 3 t , 2 t
4, 3, 2 16t t
10 40 29 130
P
4t
1 0, 3 t , 2 t
9t
4t
120
,
29
29
x
y
z
13
12
8
0
0
80
,
29 x
13 t ; y
12 t ; z
8t
32. Pasa por el origen y es perpendicular a las rectas que tienen números directores 4, 2,1
3, 2,1
a, b, c 4 a 2b a, b, c 3a
a
4, 2,1 c
2b
0
0 3, 2,1 c
0
0
2c 0 2b 7 c 0 x0 , y 0 , z 0
x
4t y
a
2c; b
7 2
0, 0, 0 7t z
2t
c; c
2
x
y
z
4
7
2
33. Perpendicular a las rectas que tiene números directores el punto
2, 0, 3
a, b, c
5,1, 2
5a b 2c b 2c 5a b
0
a, b, c
0 13
8a; c
2a 3b
2, 3, 4
3b 4c
4c 2a
2, 3, 4 en
5,1, 2
0
0
a
2 a, 8a,
13
a
2 2t
x y z
2 16t 3 1 3t
x
3
13
y es perpendicular al plano 4 x
2y
z
7
0
6z
8
0
4, 2,1
3
1
z
16
3,1, 5
3,1, 5 ; V
x y z
y
2
34. Pasa por el punto P
2
4t 2t 5 t
x
3
y
4
1 2
35. Pasa por el punto 4, 5, 20
z
5 1
y es perpendicular al plano x
3y
N 1, 3, 6
L:x
x
4
4
t; y
y
5
5
1
z
3t ; z
6
36. Pasa por el punto 2, 0, 4
x
y
2 8
6t
20
3
2x
20
z
0 x
y
z
11
3y
5z
y es paralela a cada uno de los planos 0
4 5
37. Obtenga un conjunto de ecuaciones simétricas para la recta 4x 2x
3y 5y
z 2 0 3z 4 0
4x 2x
3y 5y
z 2 0 3z 4 0
x
2 7
y
1 7
; z
13 7
4x 2x
y
10 7
z 3y 2 3z 5y 4
1
x
10
z
7
y
2
13
7 x
1
y
2
7 ;
7
10
z
y
7 2
7 z
3
1
x
7
7
13
7 13
38. Demuestre que las rectas x
1
y
3
y
2 x
4 5
2
14
z
2 3 z 8
5
3
Coinciden. x
2s
y z
1
5s 3s
2t
3; 2 s
5t
14; 5 s
3t
8; 3 s
4 2
39. Demuestre que la recta
2t
4
5t 3t
1
Coinciden cuando t
10
2y
x
3
3
z
x
1
3
y
2
3
1
z
1 esta contenida en el plano
4
6
2t; y
2t
s
6
2
x
2
2
2 2
3t ; z
3t
1
40. Demuestre que la recta x
1
4t
4t
6
1
1
y
z esta contenida en el plano
6
2
3x x
y t
3 t
z
3
1; y 1
2t 2t
6; z
6
t
t 3
3
3
Los planos que pasan por una recta y son perpendiculares a los planos coordenados se denominan planos de proyección de la recta. En los ejercicios 41 a 44, determine las ecuaciones de los planos de proyección de la recta y dibuje la recta. 41.
3x 2x
2y 3y
5 z 30 10 z 6
0 0
x
0
13 y
40 z
y
0
13 x
5z
z
0
8z
y
42
0
102
0
66
0
42.
x y 3z 1 0 2 x y 3 z 14 0 A : x y 3z 1 0 B : 2 x y 3 z 14 0 2A A A
x x
43.
B :3y B : 3x B: x
3z
12
6 z 15 2 y 13
0; y 0; x 0
2 y 3z 6 0 y z 1 0
x
0
3y
4z
7
0
y
0
3x
z
4
0
z
0
4x
y
3
0
z
4
0
2z
5
0;
44.
2x 4x
y y
z 7 0 3 z 13 0
A : 2x B : 4x
y y
B
2A :
B
A:
3A
B:
z 7 0 3 z 13 0
y
z
1
0
2x
2z
6
0
2x
2y
8
0
x x
z y
3 4
0 0
45. Calcule el coseno del ángulo menor entre el vector cuya representación es paralela a la recta x
2y
paralela a la recta x
y
x
2y
x
y
4; y
y; z
7; y
y; z
4; z 7; 2 z
y y
y
4 , y el vector cuya representación es 2.
y
4
1
2 2,1, 1
1,1,
1 2
2,1, 1
1,1,
1 2
2
cos 2,1, 1
1,1,
1
4
2
1
1
5
2
2
1 1 1 1
1 4
6
5 6 3 2
46. Obtenga una ecuación del plano que contiene al punto 6, 2, 4 1
x
1
1
5
y
6
2
1
z
18
y a la recta
3
7
x
y
z
1
1
2
3
1
6
4
10
1
6
2
4
1
22 x
30 y
10 z
112
0
11 x 15 y
5z
56
0
En los ejercicios 47 y 48, determine una ecuación del plano que contiene a las rectas indicadas que se interceptan.
x
2
y
z
2
4 1 3 3x 2 y z 2 0 x y 2z 1 0
47.
x
4t
t
0
2, 3, 2
t
1
6, 4,1
3x
2; y
2y
3 6
2
3x
7y
x
y
2
2 4
y
3t
k x 1
z
y
2
2
2z
1
k 6
3z
2
13
2
0
4
2 1
1
0
z
1
x
;
1
5z
x
y
2z
1
0
11 0
7
3
4x
3; z
0
2y
4x
t
z
13 11k 13 k 11
48.
3
y
1
2
z
1
1 1
0
49. Demuestre que las rectas 3x 8x
y z 0 2 y 3z 1
x 3y 3x y
z z
3 5
0 0 0
Son paralelas, y obtenga una ecuación del plano determinado por estas rectas. 1
x
3
y
2
2
1
1
2
2
z
0 1
3
x ;
1
y
2
2
1
1
2
2
z
0 1
8x
2y
3z
1
k 3x
y
z
0
3 1 , ,0 2 2
3
8
2 12 5 k 12
k
1
2
3 0
1
k 3
2
3
1
2
2
0
0
0
5
8x
2y
3z
12
1
3x
y
z
0
5 4x
2y
3z
5
0
50. Demuestre que las rectas x
2
y
5 x
1
z
4
z
3
2 3
y
4
5 2 1 Son paralelas, obtenga una ecuación del plano determinado por estas rectas x
2
y
1
x
5z
20; x
5z
18
8; y
2z
7
2z
5z
18
k y
2z
0 0
7
0
2 3
7
3, 4, 3
3
5 3
18
30
9k 10
0
k
k
4
0
3
x
5z
3x
10
18
10 y
y
3 16
5z
2z
7
0
0
51. Calcule las coordenadas del punto de intersección de la recta 1 1 1 x 2 y 3 z 1 y el plano 5 x y 2 z 12 0 4 2 7 x
2
y
3
4 x
z
2 4t
5 4t 36 t 1 3
7 2t
2; y 2
3
2t 0; t
2,
1 6
1
3,
1 3; z
3
7t
2 7t
1
1 12
0
1 12 7 12
1
5 3
,
17
,
5
6 12
52. Determine ecuaciones de la recta que pasa por el punto 1, 1,1 , es perpendicular a la recta 3 x x
1
9t; y
1 8t ; z
2y 1
z , y es paralela al plano x
y
z
0
t
53. Obtenga ecuaciones de la recta que pasa por el punto 3, 6, 4 , que interseca al eje z y es paralela al plano x
3y
5z
6
0.
0, 0, z 0 3, 6, 4
z0
3 18 z0
1, 3, 5
5 4
z0
0
0
1
x
3
y
1
6
z
4
2
1
54. Calcule la distancia perpendicular del origen a la recta 6 2 3 x 2 t; y 7 t; z 4 t 7 7 7 Q 2, 7, 4 ; V 6, 2, 3 OQ c 4 49 16 69 2, 7, 4 6, 2, 3 OQ V a OQV V 36 4 9 d
c
2
a
2
69
4
2z
7; y
V c P QV d
7
z
2 1 2, 0,1 ; P 1, 3, 1 PQ 8, 2,1 64 4 1 8, 2,1 2, 0,1 PQ V V c
2
a
4 2
1, 3, 1 a la recta
1
x
Q 7,1, 0 ;
2
7
65
55. Calcule la distancia perpendicular del punto x
17
69
0
1
69 17 5
289
56
2 70
5
5
5
56. Obtenga ecuaciones de la recta que pasa por el origen, y es perpendicular a la recta x
y
5; z
2y
3; e interseca a la recta y
2x
1; z
x
2
1,1, 2 a
a, b, c
b
a
2c
2a
a
0
0
1
1; b
2 a
2
1; c
1
0
1, 1,1 x
y
1
z
1
1
57. Demuestre que las rectas son oblicuas. x
1
y
2
y
5
2
z
1
z
2
x 1
1 3
3
3 2
5, 2, 3 ; 1, 3, 2 L1 : x
5t
1; y
2t
2; z
L2 : x
s
2; y
3s
1; z
5t
1
s
2;
2
3s
t
0; t
2t
3t 2s 1;
1 3
3t
1
2s
3
1
58. Obtenga ecuaciones de la recta que pasa por el punto 3, 4, 5
y que interseca
a cada una de las rectas oblicuas del ejercicio 57 x
y
1
2
1
1
6
0
4
1
5
1
3
z
4
5x
1
7 y 13 z
5 s
2
52 s
0
7
10 x
22 3s
14 y
3
44
0
0 1
13 2 s
0 Q 2, 1, 3 ; V P Q x
26 z
3
22
0
s
y
1
4
z
5
1, 3, 2
5 2
59. Demuestre que la distancia perpendicular entre los planos paralelos ax
by
cz
d1
0; ax
by
cz
d2
d1
0 esta dada por
a
Q
0, 0,
d2 c
; N
a, b, c
2
d2 b
2
c
2
a, b, c d
d1
0, 0,
d2 c
N V QP N
a, b, c
a
d1
d2
2
2
b
60. Demuestre que la distancia no dirigida del plano ax x0 , y 0 , z 0
esta determinada por
| ax 0
by 0 a
N P0 P1 PQN d
a, b, c
x1
N ax 0 a
2
b
2
cz 0 c
2
ax 0
2
b
2
b
2
2
y 0 ; z1
2
c
by 0 cz 0 a
b
x 0 ; y1 a
by 0
2
cz 0
2
c
by
c
2
cz
d
0 al punto
d | 2
z0
ax1
by1
cz1 a
2
ax 0 b
2
by 0 c
2
d c
2
61. ¿Cuáles son las ecuaciones para métricas de una recta si los dos números directores a y b son cero? 62. Describa como se emplean los vectores para determinar la distancia de un punto a un plano 63. Describa como se emplean los vectores para determinar la distancia de un punto 3 a una recta en R .
cz 0
EJERCICIOS 10.5 En los ejercicios 1 a 12, A
1, 2, 3 , B
4, 3, 1, , C
E 4, 0, 7 , y F B.
2.C alcule D
E
A
B
D
i
j
k
1
2
3
4
3
i
j
k
2
1
6
E
4
C
D . E
C j
k
i
j
3
5
4
0
6
0
2
1
4.Obtenga C j
k
5
3
5
E
3
0 7
i
j
j
2
1
6
F
0
2
1 12 j
24 j
4 k
3
8 k
7,13, 11
7i
14
7,10, 4
7
F
7
18
5 i
30
10 j
5
6 k
14 i
4j
8k
23, 20,11
14, 4, 8
322
80
88
490
F
3
5
0 i
1
i
1
7
0 5
9
k
D
i
4
D
E
2
1
0
E
5 2
C
D
i f
2,1, 6 ,
0, 2,1 .
1.O btenga A
3.Determine
5, 3, 5 , D
7 5
1
6
2
1
5
i
i
7
2 0
6
5
4
7
4 5
j
1
3
4
1
0
k
0
5 0
2
j
5
j
k
4
3
k
11i
2j
4k
21i 15 j 12 k
2
entonces , C
E
D
F
21i
15 j 12 k
11i
2j
4k
21
11
15 2
12
4
5.Verifique el teorema 10.5.3 para los vectores A y B .
B
A
i
j
4
3
1
2
k 1 3
7, 13, 11
A
B , el resultado del ejercicio es 1
309
6. Verifique el teorema 10.5.4 para los vectores A B y C .
A
B
C
1, 2, 3
1, 6, 4
i
j
k
1
2
3
1
A
B
A
C
i
j
k
i
j
k
1
2
3
1
2
3
4 26 i
7j
6
3
1
5
3
26 i
7j
4k
4
7i
13 j 11k
19 i
20 j
7k
5
4k
7. Verifique el teorema 10.5.5 (i) para A y B , y c = 3
Ifc
3, c A
B
i
j
k
3
6
9
4
A
cB
3
i
j
k
1
2
3
12
9
6
27 i
3
36 j
9
24 k
21, 39, 33
1
6
27 i
3
36 j
9
24 k
39 j
33 k
21, 39, 33
3
8. Verifique el teorema 10.5.5 (ii) para A y B , y c = 3 cA
B
3 1, 2, 3
i
j
k
3
6
9
4
3
c A
6
j
k
31
2
3
3
3 7i
3
i
1
1
13 j 11k
j
1
3
4, 3, 1 6
4
k
21i
3
4, 3, 1 2
3
3, 6, 9
9
4
3 1, 2, 3
i
4
9
3
1
B
4, 3, 1
3
i
3
1
21i
39 j
1
3
4 33 k
1
j
1
2
4 cA
k
3 B
9. Verifique el teorema 10.5.6 para los vectores A B y C
A B
C
1, 2, 3
i
j
4
3
5 18
30
81
3
k 1
1, 2, 3
15
3,
20
5 , 12
15
1, 2, 3
18, 15, 27
5
129, delejercicio1, A
B C
7,13, 11
5, 3, 5
36
39
55
129
10. Verifique el teorema 10.5.7 para los vectores A B y C
A
B
C
A
i
j
j
4
3
1
5 A C B
A B C
11. Calcule A A
B
D
C
i
j
k
1
2
4
B
5, 3, 5
C
1, 2, 3
1
8,
18, 15, 27
5
1, 2, 3
D
5 3
3
1, 2, 3
B
D y D
1, 2, 3
C
5
3
9
k
1
2
3
18
15
27
9, 27, 21
4 4, 3, 1
5
5, 3, 5
9, 27, 21
B , y verifique que son iguales.
5, 3, 5
6 , 20
j
4, 3, 1
A
4, 3, 1
i
2,1, 6
1, 23
1
C
A
B
2,1, 6
5, 3, 5
5, 1, 2
i
j
k
3
4
1
5
12. Determine A
B C
1
8
1,
6
5 , 3
20
9, 1, 23
2
D
Encontrar
A
A
C
B C
B
D
1, 2, 3
D
4, 3, 1
5, 3, 5
i
j
k
1
2
3
4
3
1
i
j
k
5
3
5
2,1, 6
2 A
B C
D
7
2
13
2
11
2
1 23
2
2
3
3
1
3
5
1
6 20
2
11
i
6 2
i
1
3
4
J
1
5
5
2
6
339 1050
1
2
4
j
k
7i
13 j 11k
3
5 2
3
k
23 i
20 j 11k
1
15 1582
13. Demuestre el teorema 10.5.2 (ii) y ( iii). D ejando A
a1 a 2 , a 3 . E ntonces
O
A
0, 0, 0
A
O
a1 , a 2 , a 3
a1 , a 2 , a 3
0.a 3
0.a 2 , 0 a1
0.a 3 , 0.a 2 , 0.a1
0, 0, 0
0
0, 0, 0
a 2 .0
a 3 .0, a 3 .0
a1 .0, a1 .0, a 2 .0
0, 0, 0
0
4
14. Sean los vectores unitarios A
9
i
7
4
j
9
2
k y B
9
2
i
3
j
3
1
k . Si
es el
3
ángulo entre A y B ,calcule sen en dos formas: (a) utilice el producto cruz (teorema 10.5.8); (b)emplee el producto punto y una identidad trigonométrica.
a A
B
i
j
4
7
9
9
9
2
1
3
3
2 3
k 4
15
4
i
27
22
j
27
k .sen A , B
A
B
27
1
225
16
474
27
1
725
27
5
29
27
15. Siga las instrucciones del ejercicio 14 para los dos vectores unitarios 1
A
1
i
3
3
1
B
3
1
j
3
1
j
3 3
1
i
k
3
5
i
3 3
1
1
j
1
kyB
3
a sen
k
3 3
A
B
A
B
5
i
3 3
j
3 3
j
k
1
1
1
1
3 5
3 3
3
k.
3 3
i
3
1
2
i
3
3
Porque A y B son vectores unitarios
2 3
k
4
4
2
9
9
3
2
1 3
16. Demuestre que el cuadrilátero que tiene vértices es (-2,1,-1), (1,1,3), (-5,4,0)y (8,4,-4)es un paralelogramo y calcule su área. PQ PR RS
q
p
2,1, 1
p
r
5, 4, 0
s
r
Porque P Q
8, 4, 4
1,1, 3 1,1, 3 5, 4, 0
3, 0, 4 6, 3, 3 3, 0, 4
R S , entonces PQRS es un paralelogramo, además
PQ
Y PQ
PR
PR
i
j
k
0
1
0
0
0
1
12 i
12 i
15 j
15 j
9k
9k
144
225
81
450
15 2
Por tanto el área del paralelogramo PQSR es 15 2 17. Demuestre que el cuadrilátero que tiene vértices es (1,-2,3),(4,3,-1), (2,2,1) y (5,7,-3) es un paralelogramo y calcule su área.
P= (1,-2,3), Q=(4,3,-1), R=(2,2,1), S=(5,7,-3).Porque V ( P Q )=(3,5,4)=V( R S ).PQRS es un paralelogramo. Las medidas del área PQRS son V PQ
i
j
3
5
4
1
4
2
V PR
k 6i
2j
7k
36
4
49
18. Obtenga el área del paralelogramo PQRS si V ( P Q ) 3 i
Área= P Q
PS
i
j
k
3
2
0
0
3
8i
12 j
9k
64
144
89
2 j y V P S = 3j
81
4k .
17
4
19. Determine el área del triángulo que tiene vértices en (0,2,2),(8,8,-2)y (9,12,6).
1
V AB
V BC
1
2
2
i
j
k
3
5
4
1
4
2
1
64, 68, 26
32.
34,13
1024
1156
169
2349
9 29
2
20. Calcule el área del triángulo que tiene vértices en (4,5,6), (4,4,5) y (3,5,5). El área del triángulo PQR es
1
QP
QR
2
QP
QR
p
q
r
q
0,1,1
( 1,1, 0)
i
j
k
0
1
1
1
0
1
i
j
k
En los ejercicios 21 y 22, utilice el producto cruz para obtener una ecuación del plano que pasa por los tres puntos indicados. 21. (-2,2,2), (-8,1,6), (3,4,-1)
V AB
V AC
i
j
k
6
1
4
5
ecuación es:
5 x
2
2
5, 2, 7 porque el punto A esta en el plano, su
3
2 y
2
7 z
2
0; 5 x
2y
7z
0
22. (2,3,0), (2,0,4), (0,3,4).
N
AB
AC
i
j
k
0
3
4
2 6 x
2
4 y
3
0
4
3 z
0
1 2, 8, 6 ,
1
N
6, 4, 3
2 0; 6 x
4y
3z
24
0
23. Realice el ejercicio 18 de la sección 10.4 empleando el producto cruz.
A
B
i
j
k
1
1
1
2
3 x
4
1
3, 6, 3 porque C contiene los puntos (4,0,-2) su ecuación es
4
6 y
0
3 z
2
0; 3 x
6y
3z
6
0; x
2y
z
2
0
24. Determine un vector unitario cuyas representaciones sean perpendiculares al plano que contiene a P Q y P R si P Q es una representación del vector i 3 j 2 k y P R es una representación del vector 2i
N
i
3j
2k
2i
j
k
k.
j
i
j
1
3
2
k 2
1
5i
3j
7k
1
Por el teorema 10.5.10 el vector N es normal, por lo que P Q y P R vectores unitarios son
U
N N
1 25
9
5i
3j
1
7k
49
5i
3j
7k
83
En los ejercicios 25 a 27 obtenga un vector unitario cuyas representaciones sean perpendiculares al plano que pasa por los puntos P,Q y R. 25. P 5, 2, 1 , Q 2, 4, 2 , R 11,1, 4
N
V PQ
V PR
i
j
3
2
6
1
k 1 5
9i
9j
9k ; N
9 i
j
k
9 1 1 1
9 3
1
Por lo tanto vectores unitarios normales son
9i
9j
1
9k
9 3 26. P
N
2,1, 0 , Q 2, 2, 1 , R
PQ
PR
i
j
4
3
3 N
49
25
j
k
5, 0, 2
k 1
1
169
i
3
7, 5, 13
2 243
7
9 3.U
3,
27
5
3,
27
13
3
27
27. P 1, 4, 2 , Q 3, 2, 4 , R 4, 3,1 Un vector normal en le plano de P, Q y R es
N
V PQ
V PR
i
j
k
2
2
2
3
1
4i
8j
4k ; N
4 i
2j
k
4 1
4
1
4 6
1
así pues los vectores unitarios normales son
1
4i
8j
1
4k
4 6
i
2j
k
6
28. Obtenga el volumen del paralelepípedo que tiene aristas P Q y P R y P S si los puntos P Q , R , S son, respectivamente, (1,3,4),(3,5,3),(2,1,6) y (2,2,5).
A B C
PQ PR PS
3, 5, 3
1, 3, 4
2, 2, 1
2,1, 6
1, 3, 4
1, 2, 2
2, 2, 5
1, 3, 4
1, 1,1
El número de la unidad cúbica del volumen del paralelepípedo es A 2 A
B .C
2
B .C
1
1
2
2
1
1
1
1
Así de esta manera el volumen del paralelepípedo es una unidad cúbica
29. Calcule el volumen del paralelepípedo PQRS si los vectores V P Q , V P R y V P S son respectivamente i 3 j 2 k , 2 i j k e i 2 j k
A
B .C
i
j
k
1
3
2 .C
2
1
5i
5j
5k . i
2j
k
5 10
5
20
1
30. Obtenga una ecuación del plano que contenga a los puntos terminales de las representaciones de posición de los vectores 2 i j 3k , i j 2 k y 5i j k x
y
2
La ecuación plana tiene
1
1 5
1 1
z
1
3
1
2
1
6x
15 y
12 z
33
0; 2 x
5y
4z
11
0
1 1
En los ejercicios 31 y 32, calcule la distancia perpendicular entre las dos rectas oblicuas x
1
y
2
5
31. x
1
3 2
2
y
4
N
z
1
z
2
3 3
5, 3, 2
4, 2, 3
i
j
k
5
3
2
4
2
13, 23, 2 . N
169
529
4
702
3 78
3
A= (1,2,-1)es el punto de la primera línea y B=(-2,-1,3) es el segundo punto. Las distancias medidas entre as líneas de proyección escalar de V A B es V A B .N
3, 3, 4 .
N N
x
1
3 78
y
2
32. x
2
z
y
5
1
38 3 78
1
4 1
13, 23, 2
3 z
3
1 2
L1 =(2,-4,-3) y L2=(5,3,2)son vectores direccionales de la primera y segunda línea. El vector
N
L1
L2
i
j
2
4
5
3
k 3 2
1, 19, 26
Es perpendicular a cada una de las líneas. La primera línea contiene loa puntos P P1 (-1,-2,1) y la segunda línea contiene los puntos P 2 (1,1,-1).La distancia de la perpendicular es de valor 2, 3, 2 tenemos: absoluto en la proyección escalar de P1 P2 N .P1 P2
1, 19, 26 . 2, 3, 2 .
N
1
2
19
2
26
107
2
1038
La distancia perpendicular de las líneas es
107
unidades
1038 33. En la figura adjunta, un tornillo en el punto Q se gira al aplicaren el punto P una 0
fuerza F de 25 lb en un ángulo de 7 0 con respecto a la llave, la cual mide 8 pulg de longitud. Calcule la intensidad ( o módulo) del vector torque generado por la fuerza en el tornillo.
25 8 sen 70
0
187.9 en lb.
34. Una fuerza F de 30 lb en la dirección hacia abajo se aplica en un punto P, que es el extremo izquierdo de la palanca de la engrapadora mostrada en la figura adjunta. La 0
longitud de la palanca es de 6 pulg y en reposo,la palanca forma un ángulo de 10 con la base horizontal de la engrapadora en el punto Q. Obtenga la intensidad ( o módulo) del vector torque ejercido por F en Q .
30 6 sen 80 35. Si
0
177.3
es el ángulo entre los vectores A y B de V 3 , demuestre que
A
tan
B
A .B A
B
A .B
A
B sen
A
B cos
tan
36. Si c son vectores de V 3 ,demuestre que A . A Supongamos que A
a1, a 2, a 3 y B
B
0
b1, b 2, b 3 porque una determinante es cero las dos
filas son iguales y
A. A
B
a1
a2
a3
a1
a2
a3
b1
b2
b3
0
37. Si A y B son vectores de V 3 ,demuestre que A A 0
B A
B
A
B
A
B
A 0
B
A
2 A
A
B
B
A
B
A
B
A
B
A
A
2 A B
B
B B
B
3 38. Sean P , Q y R tres puntos no colineales de R y sean O P ,O Q , y O R las
representaciones de posición de los vectores A , B y C , respectivamente. Demuestre que las representaciones del vector A
B
B
C
C
A son perpendiculares al plano que contiene
a los puntos P , Q y R . V OP ,B
B El V P Q V PR vectores normales del plano son P , Q y R es V P Q A
B
A
C
A
V
B
OQ , y C
V OR
A
A
C
B
A
B
En ejercicios del 39-42 dejar A = a1, a 2, a 3 , B 39. Demuestre el teorema 10.5.4.
C
A
C
B
A
A y V PR
A
b1, b 2, b 3 , y C
A
B
C
C
c1, c 2, c 3
C
A , Los
A
A
B
A
B
C
a 2 b3
a1 , a 2 , a 3 c3
a 3 b2
a 2 b3
a 3 b2
a 2 b3
a 3 b 2 , a 3 b1
A B
B C
b1
c 2 , a 3 b1
a 2 c3
A
c1 , b 2
c 2 , b3
c1
a 3 c 2 , a 3 b1
a1 b3
a 3 c1
a 1 b3 , a1 b 2
a 2 b1
B
A
c3
a1 b3
c 3 , a1 b 2 a1 c 3 , a1 b 2
a 2 c3
c2
a 2 b1
a1 c 2
a 3 c 2 , a 3 c1
a 2 b1
c1
a 2 c1
a1 c 3 , a1 c 2
a 2 c1
C y
A
A
C
B
A
C
A
B
A
C
B
B
C
A
40. Demuestre el teorema 10.5.5. Si A
a1 , a 2 , a 3 y B
b1 , b2 , b3 ninguno de los dos vectores en V 3 y sin ningún escalar.
Nosotros utilizamos la tabla de multiplicar los elementos, con una fila de números utilizamos los valores en ellos determinados por C, entonces,
cA
B
ca1 , ca 2 , ca 3
i
j
k
ca1
ca 2
ca 3
b1
b2
b3
c A
B
b1 , b 2 , b3
i
j
k
c a1
a2
a3
b1
b2
b3
De 1 sacamos inmediatamente, cA
B
c
a1 , a 2 , a 3
b1 , b 2 , b3
Aplicando la regla de determinantes de la tercera fila tenemos en (1)
cA
B
i
j
k
a1
a2
a3
cb1
cb 2
cb3
a1 , a 2 , a 3
cb1 , cb 2 , cb3
A
cB
41. Demuestre el teorema 10.5.6. A .B
C
a1 b 2 c 3 A
B .C a 2 b3 a1 b 2 c 3
a1 , a 2 , a 3 . b1 , b 2 , b3 b3 c 2
a 2 b 3 c1
a1 , a 2 , a 3 a 3 b 2 c1 b3 c 2
b1 c 3
c1 , c 2 , c 3
a1 , a 2 , a 3
a 3 b1 c 2
b1 , b 2 , b3 . c1 , c 2 , c 3
b2 c 3
b 3 c 2 , b 3 c1
b1 c 3 , b 2 c 2
b 2 c1
a1 b3 , a1 b 2
a 2 b1 . c1 , c 2 , c 3
a1 i
a3 k
b 2 c1 a 2 b3
a 3 b1
a 1 b3 c 2
a1 b 2
a 2 b1 c 3
a 2 b3 c1
b1 c 3
a 3 b1 c 2
b 2 c1
a 3 b 2 , a 3 b1
A .B
C
42. Demuestre el teorema 10.5.7. Seleccione el acceso de tal manera que B Y B
C
b1 c 2 k y A
B
C
a1 i
b1 i , C
a2 j
a3 k
c1 i
c 2 j, A
b1 c 2 k
a1 b1 c 2 j
a2 j
a 2 b1 c 2 i mientras
A .C B
A .B C
a1 c1
a 2 c 2 b1 i
a1 b1
c1 i
c3 j
a 2 b1 c 2 i
a1 b1 c 2 j demostrando(i)
3 43. Sean P , Q y R . Tres puntos no colineales de R y sean O P ,O Q , y O R las
representaciones de posición de los vectores A , B y C ,respectivamente. Demuestre que la distancia del origen al plano determinado por los tres puntos está dada por
B
A .B
C
A
C
A
Para un paralelepípedo, el volumen =base x altura= volumen/área de la base=
B
A .B
C
A
C
A
44. Sean O P la representación de posición del vector A , O Q la representación de posición de B , yO R la representación de posición de C . Demuestre que el área del triángulo PQR es
A
V OP ,B
1
B
A
C
A
2
V OQ ,C
V O R . El área del triángulo PQR es la mitad del área de
un paralelogramo con PQ y PR sus lados adyacentes son: 1 1 V PR V PQ B A C A 2 2 45. Si A , B y C ,son vectores de V 3 , demuestre que
A
B
C
A
B
C
C .B A ;
C .A B C
A
B
C .B A
C .A B
C .A B
C .B B
C
A
A
46. Si A , B y C ,son vectores de V 3 , demuestre la identidad de jacobi
A
B
C
B
C
A
C
A
B
0
Sugerencia: aplique el teorema 10.5.7 a cada término. A
B B .C
C
B C .B A
C
A
C
A .C
A
B B
C .A B
A .C B
A .B
B .A C
A .B C 0A
0B
B .A C 0C
Probada la identidad de Jacobi 47. . Si A , B y C ,son vectores de V 3 , demuestre que
A
B
C
A
B
C
0,
C .A B
C .B A
C .A B
si y solo si B Del ejercicio 47,
C
A B
0 C
A
C
A
B
A
B
C
B
C
A
La identidad dada es verdadera si solamente si el último término es el vector cero. 48. Describa las interpretaciones geométricas del producto cruz, del triple producto escalar y el triple producto vectorial
Ejercicios 10.6 1.
4x
2
y
2
16; plano xy
Rta =
x
2
4
2.
4z
2
y
2
y
2
1 (Elipse)
16
4; plano yz
Rta = z
2
y
2
4
1
(Hiperbola)
x
3.
z
e ; plano xz
4.
x
y ; plano xz
En los ejercicios 5 a 12, dibuje el cilindro que tiene la ecuación indicada 5.
4x
2
4x
2
9y
2
36
9y
2
36 tiene los reglajes paralelos al plano al eje z, la directriz en el plano zy
es la elipse 4 x
2
9y
2
36
6.
z
sen ( y )
El cilindro z
sen ( y ) tiene los reglajes paralelos al eje z; la directriz en el plano
yz es la misma curva del seno
7.
y
8.
x
9.
z
z
2
z
2
2x
2
4
10. z
2
11. y
12. x
4y
2
cosh( x )
2
y
3
En los ejercicios 13 a 20, obtenga una ecuación de la superficie de revolución generada al girar la curva plana alrededor del eje indicado. Dibuje la superficie
13. x
2
4 y en el plano xy, alrededor del eje y 2
Reemplazamos x con x
14. x
2
4z
2
2
2
4z
2
2
z : y obtenemos x
2
z
2
4y
y
2
4z
16 en el plano xz, alrededor del eje z
Reemplazamos x con x
15. x
2
2
y
2
y obtenemos x
2
2
16
16 en el plano xz, alrededor del eje x 2
Reemplazamos x con x
2
y
2
y obtenemos x
2
4y
2
4z
2
16
16. x
2
en el plano xy, alrededor del eje x.
4y
Porque deseamos reemplazar y cuadrado obteniendo: x
4
16 y
2
con y
2
2
z , primero elevamos la ecuación al
2
La ecuación de la superficie de revolución es: x
4
16( y
17. y
2
2
z )
en el plano yz, alrededor del eje y.
3z
Elevamos al cuadrado para obtener: y
2
2
para obtener: y
2
18. 9 y
2
9( x
2
z )
4z
2
144
2
en el plano yz, alrededor del eje z 2
Reemplazamos y con x 9( x
2
2
y )
z
2
144
2
2
2
9 z y reemplazamos z con ( x
y para obtener:
2
2
z )
19. y
en el plano xy, alrededor del eje x
sin( x )
Elevamos al cuadrado: y y
2
z
2
20. y
2
z
3
y
2
2
2
2
z obtenemos
2
en el plano yz, alrededor del eje z 2
2
2
sin ( x ) y reemplazamos y con y
sin ( x )
Reemplazamos y con x x
2
z
2
y
2
y obtenemos:
3
En los ejercicios 21 a 28, obtenga una curva generatriz y el eje para la superficie de revolución dada. Dibuje la superficie. 21. x
2
y
2
z
2
16
Como es una esfera existen muchas seis formas en las que las podemos obtener una es por ejemplo: Revolver x
2
y
2
16 en el plano xy alrededor del eje z
22. x
2
z
2
y
Revolucionamos x
23. x
2
y
2
z
2
2
z
2
e
y en el plano xy
2
z
4
Revolucionamos x
24. y
2
2
4 en el plano xz
2x
El eje de revolución es el eje x . Podemos empezar tanto como por y y
x
e el plano xy
2
e
2x
ó
25. x
2
z
2
y
La ecuación x
2
z
2
curva de generación x
26. 4 x
2
9y
2
4z
2
y tiene como eje y como su eje de revolución y como 2
y en el plano xy
36
El eje de revolución es el y y su curva es 4 x
2
9y
2
9
27. 9 x
2
y
2
9z
2
0
El eje de revolución es el y ; la curva de generación es x
1
2
y
2
en el plano xy
9
28. 4 x
2
4y
2
z
9
Podemos reescribir la ecuación como: 4( x
2
2
y )
z
El eje de revolución es el eje z . La curva puede ser 4 x
9 2
z
9
29. En los incisos (a) – (f), relacione la ecuación con la superficie correspondiente, generada en computadora (i) – (vi) e identifique la siguiente superficie. (a) 9 x
2
4y
2
36 z
(b) 5 x
2
2z
2
3y
(c) 9 x
2
4y
2
36 z
(d) 5 x
2
2z
2
3y
(e) 9 x
2
4y
2
(f) 9 x
2
4y
2
36
2
36
36 z
2
36
36 z
2
36
(a) = (v) Hiperboloide de una hoja
(b) = (iii) Paraboloide Hiperbólica
(c) = (vi) cono elíptico
(d) = (i) Paraboloide elíptica
(e) = (ii) Elipsoide
(f) = (iv) Hiperboloide de dos hojas
30. En los incisos (a) – (f), relacione la ecuación con la superficie correspondiente, generada en computadora, (i) – (vi) e identifique la superficie. (a) 4 x
2
16 y
(b) 3 y
2
7z
(c) 25 x (d) 3 y
2
2
(e) 25 x (f) 25 x
2
2
4y 7z
2
2
2
0
6x 2
2
4y
9z
z
2
100
6x 2
100
z
2
4y
100 2
z
2
a) = (iii) es un cono elíptico
b) = (v) Paraboloide elíptico
c) = (i) Hiperboloide de dos hojas
d) = (vi) Paraboloide hiperbólica
e) = (iv) Hiperboloide de una hoja
f) = (ii) Es una elipsoide
En los ejercicios 31 a 42, dibuje la grafica de la ecuación e identifique la superficie 31. 4 x
2
9y
2
z
2
36
La superficie es un elipsoide con semiejes 3,2 y 6 32. 4 x
2
9y
2
z
2
36
Dividiendo la ecuación para 36, tenemos:
x
2
y
2
z
2
1 9 4 36 Comparando la ecuación con el tipo (I), podemos concluir que la grafica será una hiperboloide elíptica
33. 4 x
2
9y
2
z
2
36
x
Simplificando:
2
y
9
2
4
z
2
1
36
Comparando con (I), podemos concluir que la superficie es una hiperboloide elíptica de una cara cuyo eje es el eje x
34. 4 x
2
9y
2
z
2
36
La superficie es una Hiperboloide elíptica de una hoja cuyo eje es el y
35. x
2
y
2
z
2
Igualamos a cero: x
2
y
2
z
2
0
Es del tipo (III) con A = B = 1. La superficie es un cono circular con eje Y
36. x
2
y
2
z
2
La ecuación es del tipo (III) Con A = B = 1 por lo tanto, es un cono circular con el eje en x
37.
x
2
36
z
2
4y
25
Es del tipo (II) una paraboloide elíptica con el eje en y
38.
y
2
25
x
2
4z
36
Es del tipo (II), una paraboloide elíptica cuyo eje es el Y
39.
x
2
36
z
2
9y
25
Es una gráfica del tipo (II) una paraboloide hiperbólica cuyo eje es el Y
40. x
2
2y
4z
Como 2
x
2
2
2 5
4
2
1
2
y
5
Si cos( )
2 5 , podemos escribir la ecuación como
20
z
5
1
y
2
sen ( )
1
2
sustituimos y hacemos
5
5 y
z
2
z
(1) se convierte en:
41. x
2
16 z
2
4y
x
2
y
1
z 5 5 5 5 Representa una rotación del eje ‘ y ’ y del eje z en el plano yz por lo que la ecuación y
2 5 y que es un paraboloide cilíndrico.
16
Tipo (I) una hiperboloide elíptica con eje en Y
42. 9 y
x
2
2
9/2
4z
2
y
2
2
18 x
0
z Es del tipo (II), un paraboloide hiperbólico con el eje en z
43. Obtenga los valores de k para los cuales la intersección del plano x hiperboloide elíptico de dos hojas y
2
x
2
2
z
ky
1 y el
1 sea (a) una elipse, y (b) una
hipérbola. Sustituyendo en la ecuación x
ky del plano en la ecuación y
1
2
x
2
z
2
1 de la
hiperboloide, obtenemos la proyección de la intersección en el plano zy . y
2
(1
ky )
2
z
2
1; ( k
2
2
1) y
2 ky
z
2
2
(a) La intersección será una elipse si su proyección es k 2 1
0 . Por lo que una
ecuación equivalente será:
(k
2
1) y
2k
2
k k
reales si
k
2
2
k
y
2
2
1
(k
1)
2
0 ; k2
z
2
k
2
2
k
2
2.
Esta gráfica tendrá puntos
1
2
2k
2
2; k
2
1
(b) La intersección es una hipérbola si k 2
1
0; k
2
1; k
1.
44. Determinar el vértice y el foco de la parábola que es la intersección del plano
y
2 y el paraboloide hiperbólico
y
2
16 Sea y 2
1
x
4
4
2
z
4
9
x
.
2 en la ecuación dada, reescribimos la ecuación en su forma normal:
z 9
;
x
2
4
1 9
z
9 4
El cruce de la sección dada en el plano y 0, 2,
9
2 es una parábola con el vértice en
. La parábola tiene su eje paralelo al
z y se abre hacia abajo. Como
4 p
1
entonces el foco de la parábola es
0, 2,
9
9
1
4
9
= 0, 2,
77
. La figura
36
muestra el paraboloide hiperbólico resultante.
45. Obtenga el vértice y el foco de la parábola que es la intersección del plano x y el paraboloide hiperbólico
z
2
x
4
2
y
9
z
2
4
1
y
9
3
; z
2
4
encontramos los vértices en 1,
1
1 en la ecuación del paraboloide hiperbólico,
1
y
3 1
.
3
Sustituimos la ecuación del plano x obteniendo
1
. Como x
1 es paralelo a la proyección,
3 ; 0 . El eje es paralelo al y además la parábola se
3
abre en la dirección positiva del eje, p
1 3
entonces el foco se encuentra en 1, 0, 0
46. Calcule el área de la sección plana formada por la intersección del plano y
x
el sólido limitado por el elipsoide
2
9
y
2
z
25
2
1.
4
x
Siguiendo el mismo procedimiento obtenemos la ecuación
2
9 x
2
z
9
2
16
4
,
25
x
2
z
2
144
64
25
25
1 , Área =
12 8
=
z
4x
2
z
25
4
1,
96
2
4y
2
9z
2
36 y el plano
9 es una circunferencia.
Cualquier 5 x
2
9
25
5 5
47. Demuestre que la intersección de la superficie x x
3y
punto
z (x 4y
2
4z
z) 2
en
x
2
4y
2
9z
2
36 ; 4 x
36 y un plano de la forma x 5k x
2
z
4y
2
4z
2
5x
2
5z
2
36
k debe caer en la esfera
y , y la intersección de un plano y una esfera es un circulo.
Similar respuesta para planos x
z
k
48. Pruebe que la intersección del paraboloide hiperbólico
hiperboloide elíptica de una hoja
x
2
y
2
z
2
2
b
2
c
2
a que se encuentran en su superficie.
y
2
b
2
x
2
z
a
2
c
y el
1 es la intersección de dos líneas
Factorando la ecuación dada: y
x
y
x
z
b
a
b
a
c
Para cualquier valor de k , cada punto de la línea de intersección de los planos y
x
z
k
y
y
x
1
b a c b a k Satisface la ecuación del hiperboloide de una hoja, y por lo tanto la línea debe estar contenida enteramente en ella. De la misma manera cada punto de la paraboloide
determina un valor de k . De manera similar, para cualquier k , cada punto de la línea y
x
b
a
de intersección de los planos
k
z
y
c
y
x
b
a
k
z
cae dentro de la
c
paraboloide hiperbólica En los ejercicios 49 a 51, utilice el método del rebanado para calcular el volumen del sólido. La medida del área de la región limitada por la elipse que tiene semiejes a y b es ab .
49. El sólido limitado por el elipsoide 36 x
2
9y
2
4z
2
36
La elipsoide se puede expresar como: x
y
2
2
z
4 de sección de la elipsoide en x 2
elipse de semiejes 2 1
i
,0 2 i
2 lim 0
2
x 2 1
i
i
z
4
2
1
x
2
un plano
9
, por lo tanto, sea V es volumen: 1
2
3 1
i
1;
2
1, es una región delimitada por una
n
V
y
9
i
y 3 1
i
2
x = 12
1
x
2
x
8
0
i 1
50. El sólido limitado por el elipsoide
x
2
y
2
z
a
2
b
2
c
2
1
Definiendo a , b , c x
2
y
2
a
2
b
2
1
z
0 . El área del corte en x es
2
x 2
c
a
semiejes a '
a 1
z /c
A
ab (1
a 'b '
2
2
2
y 2
1
z /c 2
2
y b'
b
2
2 2
1
z /c 2
b 1
z /c
1 , la cual es una elipse de
2
2
y área
2
z /c ).
c
Por lo tanto su volumen será: V
2 ab
1 0
z
2
c
2
z
2 ab z
z
3
3c
c
4
2 0
3
abc
51. En el sólido limitado por el plano z
x
2
a
2
y
2
z
b
2
c
h , donde h
0 , y el paraboloide elíptico
,0
h , es una elipse de semiejes
2
donde c
0
Una sección plana de la superficie en z i
a
i
,b
c
i
. Sea V el volumen cúbico del sólido, entonces:
c n
V
i
lim 0
i
a c
i 1
h
i
b
z i
c
ab
z z
abh
0
2
c
52. Dibuje la superficie de revolución generada al girar la generatriz x
3 ln
3
9
y
2
9
y
2
alrededor del eje x.
y
Cuando y
3, x
0 y a medida que y
0 , x
. La figura muestra la
superficie, llamada seudo-esfera, la cual tiene aplicación en la geometría no euclidiana
Ejercicios 11.1 En los ejercicios 1 a 8 determine el dominio de la función vectorial. 1.
1
R (t )
i
4
t j
t D om
t
2.
1/ t
i
0
4
t
4 1
t +3 i t
3.
4.
Dom
t
t
2
t 1
sen t i
D om
sin
R (t )
cos
1
t
1
0, 4
-1
1
i
Dom t
2
3
Dom t
1
-1
1) j
ln t
t i
1
(sec
1
j
1
ln( t
Como D om cos
t
j
t
R (t )
D om 4
1
3 i 1
D om (1 / t )
,0
2
R (t )
t j
t
1 j
D om sin
1
t
D om ln t
1
=
1,1
t) j
y
[ 1,1]
1
D om sec
t
,1
1,
El dominio de la función es su intersección es decir los números -1 y 1 5.
R (t )
t
Dom
2 i
t
2, 0
6.
t
9 i
Dom
t
9
R (t )
t j + cot( t ) k
i
4
0,
R( t )
=
7.
2
4
, 3
t
j
cot ( t ) k
=
2,
,4
t
kx
,4
ln t
i
3 j + (t
ln t
3 j
2
t
(t
8) k
2
2t
8) k
=
, 3
3,
t
3,
ln sin( t ) i
D om ln sin t i
16-t
16
t
2
j + ln t
2
j
ln t
4 k
4 k
= t
kx
[ 4, 4]
t
4
3
4,
8.
,0
R (t )
0,
tan ( t ) i
,4
2
4-t
1
j+
k
2
Tenemos D om
4
2
t
t
1
[ 2, 2] y D om 2
Como
1
1 .5 7 entonces D om ( R )
2,
t
2
t
1
1
2
2
2
,
1
1
2
2
,2
En los ejercicio 9 -12, encuentre (a) (F + G) (b) (F - G) (c) (F.G) (d) (FxG) 2
F( t )
t
1 i
t
1 j+
G (t )
t
1 i
j+
(a) F
G
t
1 k
2
1)
9.
(b) F G (c) F
2
(t
G
F
1 k
(2 t , t , 2 t ) 2
1)
(2, t
(t
2
G
t
1)
(t
j
t
1
t
1
2
2
3t
2
3
2, 2)
i
(d)
t
t
k
2
1 1
F( t )
4
i
4 j
G (t )
t i
(a) F
G
(4 t , t , 8)
(b) F
G
(4
t
1
t
1
4
(t
t
2
3
t
2
2t ) i
4t j
(2 t
t
3
t ) k
2
2
j
k
10. 2
(c) F G
2
t
4
2
4t
j
2
2
2
2t , 8
2
t
4
G
4
4t
11.
F( t )
cos( t ) i
G (t )
sin t i
2
16
4t
j t
t
2
t , t )
i
(d) F
4 k
2
t
2
t
2
4
sin( t ) j cos t j
4
( t4
t k t k
G
(cos t
sin t , cos t
(b) F
G
(cos t
sin t , (cos t
cos t sin t
4t
4
(a) F
(c) F G
16
2
t
4
k
4
2
2
sin t cos t
sin t , 0) sin t ), 2 t ) t
2
t
2
8t
2
32) i +
t
4
8 t +16
( t
4
4t
2
16) k
(d) F
G
i
j
k
cos t
sin t
t
sin t
12.
cos t
t (sin t
sec( t ) i
tan( t ) j
2 k
G (t )
sec( t ) i
tan( t ) j
t k
(a) F
G
(2 sec t , 0 , t
2)
(b) F
G
(2 tan t , 0,
t
2 )
2t
2t
(d) F
2
2
sec t
G
tan t
i
j
sec t
tan t
sec t
cos t
j
k
t
F( t )
(c) F G
cos t ) i + t sin t
1
k 2
tan t
(t
2) tan t i + sec t t
2
j
2 tan t sec t k
t
13. F y G son las mismas funciones del ejercicio 9 f ( t ) t 1; g ( t ) t 1 En los ejercicios 13-16 calcule (a) ( fF )( t ) (b) ( fG )( t ) (c) F g ( t ) (d) G g ( t ) 14. F y G son las mismas funciones del ejercicio 10 f (t )
1/ 2
t ;
g (t )
(a) f ( t ) F ( t )
(t
2
1, t
(b) f ( t ) G ( t )
(t
2
2t
(c) F ( g ( t ))
(t
2, t
(d) G ( g ( t ))
( t ,1, t
2 3
t 2
t
t
1, t
2
1, t
1, t 2
2
2t
1)
1, )
2t , t )
2)
15. F y G son las mismas funciones del ejercicio 11 f (t )
sin t ;
(a) f ( t ) F ( t )
sin ( t ) 2
sin t cos t i 2
(b) f ( t ) G ( t )
sin t
(c) F ( g ( t ))
1 t
(d) G ( g ( t ))
1
g (t )
2
t i
sin t j
t sin t k
i + sin t cos t j
i 1 t
t sin t k
t j
sin
1
t k
2
sin
1
t k
j
16. F y G son las mismas funciones del ejercicio 12 f (t )
cos t ;
g (t )
1
cos ( t )
(a) f ( t ) F ( t )
i
sin t j
2cos t k
(b) f ( t ) G ( t )
i
sin t j
t cos t k
(c) F ( g ( t ))
1
sec(cos
1/ t
1
i
t) i t
tan(cos
1
t) j
2 k
2
j
2 k
t
(d) G ( g ( t ))
1
1/ t i
2
t
1
j
cos t k
t
En los ejercicios 17- 24 calcule los límites indicados si es que existen 17.
(t )
(t
t
2) i
2
4
t
lim ( t t
18.
t
2
1
t
lim
(t
4
1)
(t )
i
i
1
t k; lim
j
t
tk
0i
t
1
t
1
t
1
t
1
sin t i
4 j + 2k
j
t
1 k; lim t
j
t
1k
sin t
co s t j
t
20.
sin t
cos t j
k ; lim t
k
j+ k
1
co s t
t
i
e j
e
t
k ; lim
t
Como lim t
t
1
co s t
t
t
(t )
t
1
t t
t
(r )
2
0
y lim e
t
0
t
t
0
lim e t
0
j+k
sin t
i
2 2
sin t
(t )
0
0
2
t
lim
t
0
Entonces lim
lim
(t )
0
t
0
(t )
21.
(t )
1
2i
t
lim sin t i
(t )
2
2
1
2
t
1
19.
2
t
2
(t )
t
t
2)i
j
2
i
t
2
sin t t
2
1
tan t
j
1 j
t tan t t
1
k
k; lim
1
t
i
(t )
1
1 2
j+
k
t
e
0
1
22.
1
(t )
2
cos t
1 cos t
i
1 sin t 1
lim t
(t )
e
t 1
i
i
j
1 cos t
1 sin t
1
23.
cos t
t
e
cos t
1
cos t
1 t
j
j
1
t
t
t 1
i
e
1 t
j
1
(1
t)
t
k
2i
(t )
0
2j
sin t
t
1/t
k; lim t
lim e
k; lim
sin t
2
1
2
1/ t
k
(t )
0
e (i + j + k)
0
24.
ln ( t
(t )
1)
i
sin h t j
co sh t k ; lim
t
Como lim t
t
ln ( t
1)
lim
t
0
t
1 /( t
1)
(t )
0
1
1
0
Luego lim t
(r )
1 i + sinh 0 j + cosh 0 k
i+k
0
En los ejercicios 25-30, determine los números para los que la función vectorial es continua 1 2 (t ) t i ln ( t 1) j k 25. t 2 1, 2
2,
(t )
26.
(t
1
1) i e
t
27.
t
j 1
t
1
t
1
k
0 ,1
(t )
t
cos t i
(k
1
sec t j
tan t k
) , siendo k cualquier entero
2
28.
(t )
sin t i
tan t j
cot t k
La función tangente es continua excepto en los múltiplos impares de
1
, la función
2
cotangente es continúa excepto en los múltiplos pares de
1
. Por lo tanto la función
2
es continua en todos los números reales excepto
1 2
k donde k es cualquier entero
29.
1/ t
e
(t )
2
2
i
t j
k
0
si t
0
si t
0
Es continua para todos los números reales
sin t 30.
(t )
1
i
cos t
t
j
t
i
1
e
t
k
si t
0
si t
0
t
k
Es continua para todos los números reales En los ejercicios 31 a 42, dibuje la gráfica de la función vectorial. 31.
(t )
32.
(t )
2
t i
t
4
4
t
33.
(t )
2
t
i
1 j
j
t
2
i
2
t +4
j
34.
(t )
3 cosh t i
35.
(t )
t i
36.
(t )
t
37.
(t )
6
1 i
cos t i
5 sinh t j
4t
j
2t
sin t j
5
2t
3 j
t k 0
k
2t
t
3 k
2
38.
(t )
3 cos t i
3 sin t j
2t k 0
t
4
39.
(t )
2 cos t i
3 sin t j
4t k 0
t
4
40.
(t )
4 co s t i
sin t j
t
2
1 2
t k 0
41.
(t )
3t i
42.
(t )
t i
2
2t j
t
2
j
t k 0
3
3
t k 0
t
2
t
2
2
En los ejercicios 43 a 46, las figuras (a) – (c) son gráficas, generadas en computadora, de la curva del ejercicio indicado, vista desde tres puntos diferentes del espacio. Relacione la gráfica con uno de los puntos de vistas dados.
43. Ejercicio 37; (0,0,8), (0,8,0) y (4,8,4)
(a) (0,8,0)
(b) (4,8,4)
(c) (0,0,8)
44. Ejercicio 38; (0, 0, 28), (0, 28, 0) y (14, 28, 14).
(a) (14, 28, 14)
(b) (0, 0, 28)
(c) (0, 28, 0)
45. Ejercicio 41; (10,0,0), (-10,0,0) y (0,0,10)
(a) (0, 0, 10) 46. Ejercicio 42; (15,0,0)
(b) (-10, 0, 0)
(c) (10, 0, 0)
(a) (-15, 0, 0)
(b) (0, 0, 15)
(c) (15,0,0)
En los ejercicios 47 a 49 demuestre el teorema de los límites si U ( t ) y V ( t ) son funciones vectoriales tales que lim U ( t ) y lim V ( t ) existen. t
47. lim U ( t ) t
V (t )
t
lim V ( t ) t
lim U 1 ( t )V1 ( t )
a
t
t
lim U 1 ( t ) t
lim V ( t )
t
t
t
a
lim U 1 ( t )V1 ( t ) t
t
t
t
t
a
t
a
a
lim U 3 ( t )V 3 ( t )
a
t
t
a
t
t
a
lim U ( t ) lim V ( t ) t
a
a
t
a
lim U 3 ( t ) lim V 3 ( t )
a
lim U 3 ( t ) K
a
49. lim U ( t ) V ( t ) t
a
V3 (t )
lim U 2 ( t ) lim V 2 ( t )
lim U 2 ( t )
a
a
t
V 2 (t )
a
lim U ( t ) lim V ( t ) t
lim U 3 ( t ) lim V 3 ( t )
a
lim V1 ( t )
a
a
lim U 1 ( t ) t
t
t
lim U 1 ( t ) lim V1 ( t ) a
a
lim U 2 ( t )V 2 ( t )
a
t
a
lim U ( t ) lim V ( t )
a
t
t
a
48. lim U ( t ) V ( t ) t
t
U 3 (t )
lim U ( t ) a
lim U 3 ( t )V 3 ( t )
lim U 2 ( t ) lim V 2 ( t )
a
U 2 (t )
a
U 3 ( t )V 3 ( t )
a
lim U 1 ( t ) lim V1 ( t ) a
a
lim U 2 ( t )V 2 ( t )
a
t
a
t
U 2 ( t )V 2 ( t )
a
t
t
lim U ( t )
a
lim U 1 ( t )V1 ( t )
a
t
a
lim V1 ( t ) t
a
t
a
lim V 2 ( t ) t
a
lim V 3 ( t ) K t
a
lim t
U 2V 3
a
U 3V 2 i
lim U 2V 3 t
U 3V 2
a
lim U 2 lim V 3 t
a
t
t
t
lim U 3V1 t
a
lim U 2
a
i
U 1V 3 j
t
t
a
j
t
a
t
t
lim U 1V 2 t
a
t
t
a
a
t
a
lim V 2
j
t
U 2V1
a
lim U 1 lim V 3
lim V1 i
a
U 2V1 k
j
lim U 3 lim V1
lim U 3 j
a
U 1V 2
U 1V 3
a
lim U 3 lim V 2 i
a
lim U 1 i
U 3V1
j
k
lim U 1 lim V 2 t
a
t
a
lim U 2 lim V1 k t
a
t
a
lim V 3 k
a
t
a
lim U ( t ) lim V ( t ) t
a
t
a
50. Si f es una función real tal que lim f ( t ) existe y V es una función vectorial tal x
a
que lim V ( t ) existe, demuestre que lim f ( t )V ( t ) x
a
x
lim f ( t )V ( t ) x
lim ( fV1 ) i
a
x
a
( fV 2 ) j
a
( fV 3 ) k
lim f ( t )
lim V ( t )
x
x
a
lim ( fV1 ) i x
a
a
lim ( fV 2 ) j x
a
lim ( fV 3 ) k x
a
Utilizando el teorema 11.1.3 lim f lim V1 ) i x
a
lim f x
a
x
a
lim V1 i x
a
lim f
lim V
x
x
a
lim f lim V 2 ) x
a
lim V 2 x
a
x
j
a
j
lim f lim V 3 ) k x
a
x
a
lim V 3 k x
a
a
51. Demuestre que si la función vectorial V es continua en un número a, entonces V ( t ) es continua en a.
Si V es continua, entonces por el ejercicio 48, V V es continua y también por LT 10, entonces es V
V V
Ejercicios 11.2 En los ejercicios del 1 al 10 calcule R '( t )
1.
2.
3.
R (t )
1
t i
t j
R '( t )
i
t j
R ''( t )
2t j
R (t )
t -3 i
2
3
2
R '( t )
2ti
R ''( t )
2i
t
R (t )
2
R '( t )
1
t
i
2
j
t
2 t
2
1
4 t
t
1 j
1
R ''( t )
R (t )
t 2j
t
4.
R ''(t )
i 3
1
2
2t i
j 3
4t
j
1
2
4
R '( t )
i
2t t
1
5t j 5
2
2
4
i
1
5t
1/ 2
j
2 R ''( t )
6t
2
8
t
25
3
2
4
i
1
5t
4
5.
6.
7.
R (t )
e
2t
i
2
ln t j 2t
R '( t )
2e
R ''( t )
4e i
R (t )
cos 2 t i
1
i
2t
t k
t j t
2
2t k
j
2k
tan t j
t k
R '( t )
2 sen 2 t i
R ''( t )
4 cos 2 t i 2 sec t tan t j
R (t )
sec t j
k
2
tan
1
t i
1
R '( t ) 1
t
2
sin
1
t j
1
i 1
-1
cos t k
1
j t
2
1
k t
2
3/2
j
2t
R ''( t ) 1
8.
9.
t
2
t
i +
2
2
(1
3t
3t
e +2 i
R '( t )
3e i
R ''( t )
9 e i +18 e j +3 ln 2
3t
6e j
3t
5 sin 2 t i
R '( t )
10 cos 2 t i
R ''( t )
10. R ( t ) R '( t ) R ''( t )
j
3 ln 2 2
sec 4 t j
2
t
t
4 cos 2 t k
ln sin t j
2
k
2 k
t
32 sec 4 t j 1
2
t
k
2
18 sec 3 t tan 3 t i
16 cos 2 t k
k
3 cot 3 t j
2
8 sin 2 t k 3
20 sin 2 t i + 16 sec 4 t
3 sec 3 t i
3/2
k
4 sec 4 t tan 4 t j
tan 3 t i
t )
3 2 k
3t
R (t )
2
(1 t
R (t )
3t
2e
t )
t
j
3/2
csc t j
3
2t
k
En los ejercicios del 11 -14 encontrar D1 R ( t )
11. R ( t )
t
1 i
R (t )
t
2t
2
1
2 2t
12. R ( t )
e
t
1 i
R (t )
e
6
2t
3
6t
2
1
2t
5
t
2t
e
2
t
t
e
1/ 2
2t
2
2
4e
2
cos 3 t
12e 1
t
2
5
2t
2t
2e
t
2e
2t
1i
1
2t
2
cos 3t j
sin 3 t
D t R (t )
6t
2e
sin 3t i
5
1 j
2
R (t )
14. R ( t )
6t
e
2e
2
t
2
t
1
D t R (t )
13. R ( t )
2
j
2
2
4t
Dt R (t )
t
6t
4e
6t
t
2
1j
4e
6t
1
4e
6t
e
2t
2e
t
1
2e
2t
2
R (t )
t
2
1
Dt R (t )
t
2
1
2
t
3t
3 sgn( t )
En los ejercicios 15 a 18 verifique el teorema 11.2.4 para las funciones vectoriales indicadas
15. R ( t )
t
2
e
Q (t )
t
3
2e
18.
i t
D t R (t )
Q (t )
D t R (t )
Q (t )
Dt R (t )
D t Q (t )
Dt R (t )
Dt Q (t )
16. R ( t )
17.
t
t i
e 3t
Dt
t
2t
2t
2
t
j
3
2
3t
3e
3e
t
t
i
t
i
2
3e
e
2t
j
e
3t
2t
cos 2 t i
2t
i 2
1
sin 2 t j; Q ( t )
t
2t
2e
2t
i
cos 2 t i
D t R (t )
Q (t )
Dt
cos 2 t
Dt R (t )
Q (t )
2 sin 2 t
Dt R (t )
Dt Q (t )
D t cos 2 t i
Dt R (t )
Dt Q (t )
2 sin 2 t
i
Dt R (t )
Dt Q (t )
2 sin 2 t
2 sin t cos t
2 sin t i
Q (t )
cos t i
cos t j 2 sin t j
Dt
Dt R (t )
Q (t )
2 cos t i
Dt R (t )
Dt Q (t ) 3t
Q (t )
e i
t
i
4e t
2 sin t
2 cos t i 3t
e j
j
2 k; 2e
4t
j
2t
2
2e
t
i
3
2e
2t
cos 2 t j 2
sin 2 t j
sin t i
2
sin t i
sin 2 t
2 sin t cos t
i
cos 2 t j cos 2 t j
2 cos 2 t 2
sin 2 t j
D t sin t i
2 cos 2 t
k
cos t i
sin t j
sin t j
j
j
j i
2 sin 2 t
j
cos 2 t j
2 sin t cos t 2 cos 2 t
i
2 sin 2 t
22 sin 2 t
j
sin 2 t
1 k
k
Q (t )
e
j
sin 2 t k ;
Dt R (t )
R (t )
2t
3t
4e
2
Dt
2t
j
sin t i
Q (t )
R (t )
4e
2
Dt R (t )
2e
cos t
2 sin t j
2 cos 2 t k
sin t i
2 cos 2 t k
sin t i
2 cos t j
2 cos t j
j
Dt R
Q
Dt R
Dt Q
3e
3t
e
t
i
12 e
3t
e
t
j
8e
4t
19. Ejercicio 15 2
e
t
3
Dt R (t ) Q (t )
Dt
t
Dt R (t ) Q (t )
(2 t
e )( t
t
(t
i
1
2e
t
i
t
e
e
2t
e
2e t
t
t
e
2t
2
e )(3 t
t
i
3t
e
2t
j
t
i
3
2e
2t
j
2e )
(t
t
2
t
2e )
2t
(1
2t
2 e )(3 t
e )
R (t ) Dt Q (t )
t
2
t
3
2e )
Dt R (t ) Q (t )
e
t
2t
e )(3
2t
t
t
t
3
2e
2t
2t
t
j j
3t
1
3
2e
2
2e
t
2e
2t
3t
e
2t
t
2
e
t
3t
2
2e
t
1
e
2t
3
20. Ejercicio 16 Dt R (t ) Q (t ) t
sin t
R (t ) Dt Q (t )
2 sin 2 t 2
2 sin t sin t
cos 2 t 2 sin t cos t
2 sin t cos t cos 2 t
sin 2 t 2
2 sin 2 t 2
2 sin 2 t
2 cos 2 t
Como D t R (t )
D t co s 2 t i
sin 2 t j
2 sin 2 t i
2 cos 2 t j
Entonces Dt R (t ) Q (t )
2 sin 2 t i
2
2 cos 2 t j
2
sin t i
cos 2 t j
2
2 sin t sin 2 t
2 cos 2 t
Además Dt Q (t )
2
D t sin t i 2 sin t cos t i
cos 2 t j 2 sin 2 t j
Por lo tanto R (t )
D t Q (t )
cos 2 t i
sin 2 t j
2 sin t cos t i 2
2 sin 2 t j
2 sin t cos t cos 2 t 2 sin t Al sumar ambas partes de las ecuaciones resultantes tenemos
Dt R (t ) Q (t )
21. Ejercicio 17
D t R (t ) Q (t )
R (t ) D t Q (t )
cos 2 t 2 cos 2 t
2e
2t
Dt R (t ) Q (t ) R'Q
D t 2 sin t cos t 2
R Q'
2 sin t cos t
2
(2 cos t
2 sin t
sin 2 t
2 cos 2 t 2
2 cos 2 t )
2
( 2 sin t
2 cos t )
2 cos 2 t
22. Ejercicio 18 Dt R Q
23. f ( t ) Dt
R 'Q
36 e
4t
cos 2 t ; R es la función del ejercicio 9 fR
D t 5 sin 2 t cos 2 t i 2
2
10 cos 2 t
sin 2 t i
2
cos 2 t sec 4 t j
2 sin 2 t sec 4 t
4 cos 2 t k
4 cos 2 t sec 4 t tan 4 t j
f 'R
fR '
t
24. f ( t ) Dt
RQ '
e ; R es la función del ejercicio 8
f t R (t ) 4e
4t
2e
f '( t ) R ( t )
4e
4t
t
Dt i
e
4t
8e j
f ( t ) R '( t )
2e
t
i
4t
2e
3 1
e
4t
8e j
t
t
i
2e
ln 2
e
3 1
3t
t
j
3 2e
2e j
3 2 k
t
2e
2e
t
k
k
3t
2 i
ln 2
4t
t
e
t
4e
4t
2e
2
i
3t
6e j
t
3 ln 2 2 k
k
25. Ejercicio 17 i Dt R (t ) Q (t )
Dt
cos t
j
D t 2 sin t
cos t
cos t
2 sin t
2 sin t sin 2 t i
k sin 2 t 1
2 sin t
sin 2 t cos t j
2
4 sin t
2
cos t k
= sin t
Dt R
4 cos 2 t sin t
Q
2 cos t i
2 sin 2 t cos t i
sin t j
2 cos 2 t k
2 cos t
Q
2 cos 2 t cos t
i
j
2 cos t
sin t
cos t
sin 2 t sin t j
10 sin t cos t
k 2 cos 2 t
2 sin t
1
= sin t
4 cos 2 t sin t
2 sin 2 t cos t i
2 cos t
2 cos 2 t cos t
sin 2 t sin t j
26. Ejercicio 18 Dt R
Q
R' Q
R
Q'
56 e
7t
2e
t
i
14 e
7t
2e
t
j
12 e
4t
k
10 sin t cos t
En los ejercicios 27 y 28 verifique el teorema 11.2.8 para las ecuaciones dadas
27. F ( ) F '( )
28. F ( )
2
i
i
j
ln k y h ( t ) 1
2 j
sin i
k.
t
F ' h ( t ) h '( t )
cos j
D t F ( h ( t ))
e
2
1
t j
t
2e j
e k e
2
1
t i
tj
t
2t
ei
2e j
k
sen t
1
sin
tk
t
i
1
k 1
t
t
2
t
i 2
1
j
1 F '( h ( t )) h '( t )
t
1
k y h (t )
Dt ti
t
i
t
t
1
j
1
k
1
2
1
2
k t
2
29. Demuestre el teorema 11.2.4 Dt R t
Q (t )
f1 '( t )
f1 '( t ) i
Dt
f1 '( t ) i
f1 (t ) i g 1 '( t )
g 1 '( t ) j
h1 '( t )
g 1 (t ) j
h1 ( t ) k
g 2 '( t ) j
h1 '( t )
f 2 '( t ) i
g 2 '( t ) j
f 2 (t ) i
g 2 (t ) j
h2 (t ) k
h2 '( t )
h2 '( t )
Dt R t
Dt Q (t )
30. Demuestre el teorema 11.2.6 Dt
fR t
Dt f
f ' f1 ( t ) i
f1i
g1 (t ) j
f g1 j
h1 ( t ) k
f h1k
f ' f1
f
g 1 '( t ) j
f1 '( t ) i
f
f1 i
f ' g1
h1 '( t ) k
31. Demuestre el teorema 11.2.7 f
g
h
D t f1
g1
h1
f2
g2
h2
f ' g 1 h2
Dt
f
f ' g 2 h1
g1
h1
g2
h2
f1 g h2
g
f1
h1
f2
f1 g h2
f1
g1
h2
f2
g2
f 2 g h1
f1 g 2 h
h
f 2 g 1h
f g 1 h2
f g 2 h1
f1 g ' h2
f1 g ' h2
f 2 g ' h1
f1 g 2 h
f 2 g 1h
f g 1 h2
f g 2 h1
f1 g ' h2
f1 g ' h2
f 2 g ' h1
f1 g 2 h
f 2 g 1h
f '
g'
h'
f
g
h
f
g
h
f1
g1
h1
f '1
g1 '
h1 '
f1
g1
h1
f2
g2
h2
f2
g2
h2
f2 '
g2 '
h2 '
g
j
32. Demuestre el teorema 11.2.8 Tenemos
h t
y F h (t )
f
i
h
k
f ' f1 j
fR t
f ' h1
f R '( t )
f ' f1 k
Aplicando la regla de la cadena para funciones de valores reales, tenemos
D t F ( h ( t )) D
Dt f ( )i
g( )j
g( )j
h ( )k Dt
f ( )i
h ( )k
Dt f ( ) i
Dt g ( ) j
Dt h ( ) k
F '( h ( t )) D t
En los ejercicios 33 a 40 encontrar la ecuación más general cuya derivada tenga el valor de función indicada 1
33. tan t i
j
t
i tan t t
1
j
t
ln sec t
C1 i
t
34. R ( t )
t
t
2
2
9
9 i
i
2t
2t
5 j
ln t
C2 j
ln sec t i
ln t
5 j
1
t
t
3
9t i
t
2
5t j
C
3
35. R ( t )
2
ln t i
t j 1
3t
Sea R '( t )
e i t
R (t )
i e
3t
t
j entonces 1 t
j t
36.
1 4
t
2
R (t )
4
i 1
t
4
37. e 3 t i
3t
e i
3t
e
e
3t
t
1
3t
e i
t
2
4
j 1
3t
j
te
j
ek
t
2
t
3 i
t
3 i
t
2 j
1 j
C
t=
1
arctan
2
t
i
t
1
t
3t
e i
t
1
e
3t
1
j
3
3
t
2 j +e k
t
ek
3
t
t
ln 3
39. tan t i + sec t j
1 t
4 arc tan h t j
C
2
k
3
38. R ( t )
ln t
3
j
2
1
i
1
k
i
2t ln 2
j
t
ek
C
te
3t
1 9
e
3t
k
C
C
tan t i
1
sec t j
k
t
ln sec t i
ln sec t
tan t j
ln t k
C
t
40. t sin t i
t cos t j
t sin t i
t k
co s t j
tk t
t co s t
sin t i
t sin t
co s t j
1
2
t k
C
3
41. S i R '( t )
2
t
1
i t
1
R (3)
R '( t ) t
2i
1
2
5j
j y R (3)
t i t
3
R( )
0
1
j
t
2i
1
1
t
2
i
j
1
C;C
sin 2 t
i
e
t
1
1
t
3
7 i
ln t
2
5 j
3
3
0, calcule R ( t ).
i
j
sin 2 t
j
2
t
e sin t i
t
cos t j
e k y R (0) t
R '( t ) t
(i
j
t
k)
e sin t i
0
1
1
2 j
2
t
R (0)
ln t
2 cos t j y R ( )
2
43. S i R '( t )
3
t i
3
2
R (t )
1
1
5j
2
sin t i
0
5 j, calcu le R ( t ).
2
2
42. S i R '( t )
2i
2
i
cos t j
j
t
ek
k , calcu le R ( t ).
t
0
sin t
3
cos t
2
i
sin t
1 j
2
t
e
k
2 1
44. S i R '( t )
t
i
t
tan t j
1
t
2
t
R (t )
R (0)
1
4 i
1
t
R '( t ) t
R (0)
0
ln t
k y R (0 )
t
0
ln cos t
3 j
4 i
3 j
5 k , calcu le R ( t ).
1
1
i 1
ln t
2
1
tan t j t 1
2
k
t
1
5 k
2
En los ejercicios 45 y 46 haga lo siguiente: (a) obtenga una ecuación cartesiana de la curva descrita por el punto terminal de la representación de posición de R '( t ) ; (b) Calcule R ( t ) R '( t ) e interprete el resultado
45. R ( t )
cos t i
R '( t )
sin t j cos t j Parametrizando R ' tenemos x
sin t i
ecuación cartesiana sería x R ( t ) R '( t )
2
cos t sin t
y
2
2
2
sin t
cos t sin t
sin t y y
cos t una
1 , un circulo unitario.
cos t
0 La representación de R '( t1 ) con un
punto inicial en R ( t1 ) se encuentra a lo largo de la línea de tangente al circulo en R ( t1 ) .
46. R ( t )
cosh t i
R '( t ) x x
sinh t j cosh t j. Parametrizando estas ecuaciones tenemos
sinh t i
sinh t ; una ecuación cartesiana es
cosh t , y 2
2
y
47. R ( t )
2
2
cosh t 3e
2t
i
sinh t
4e
2t
j
1 , un hipérbola.
1, x
3t
y Q (t )
6e j
R ( t ) tiene la misma dirección que 3 i +4 j y Q ( t ) tiene la misma dirección que j .
Por lo tanto a ( t ) es una constante y D t a ( t )
48. R ( t )
2t i
t
2
1 j
y Q (t )
0
3t i
En los ejercicios 49 a 52 encuentre el valor exacto de L desde t1 a t 2
49. R ( t )
t
2
L
2
1 i
5
4t
t j
2
t
1
21
1
50. R ( t )
sin 2 t i
1
L
4
9t
1/ 2
3/2
i
2
t
2
4
2t
13
3 sin t j
2
3 4t
1
1/ 2
3/2
3/2
1; t 2
ln 4
21
k ; t1
0; t 2
1
2
0; t 2
2
8
3 cos t k ; t1
1
t
27
1
13
2
0
52. R ( t )
3
k ; t1
27 4t
L
3
cos 2 t j
0
51. R ( t )
2t
2
t i
t
1 3
t
3
j
t
1 3
t
3
k ; t1
0; t 2
1
1
L
2 1
t
2
4
t
2
3
0
53. La cubica albeada R ( t ) 2
L
1
2
4t
9t
2
t i
t
t
2
3
j
t k ; t1
0; t 2
2
9.571
0
t
54. R ( t )
t
e i 2
L
2e
e j
2t
t
ln t k ; t1
2
t
1; t 2
2
6.651
1
55. R ( t )
cos t i 1
L
1
9t
3
sin t j
4
t
t k ; t1
1; t 2
1
3.096
1
56. R ( t )
sin 2 t i 2
L
16 t
2
cos 2 t j
1 t
t
1/ 2
k ; t1
0; t 2
4
8.409
0
57. Suponga que R y R ' son funciones vectoriales definidas en un intervalo y que R ' es diferenciable en un intervalo. Demuestre que D t R '( t ) R '( t )
R '( t )
D t R '( t ) R '( t )
R ''( t ) R ( t )
58. Si R ( t ) R ( t ) R '( t )
2
R ( t ) R ''( t )
R '( t )
. R '( t )
2
R ( t ) R ''( t )
h ( t ), demuestre que h ( t ) h '( t )
Diferenciando R '( t ) R ( t )
R ( t ) R '( t )
2 h ( t ) h '( t )
R ( t ) R '( t )
h ( t ) h '( t )
59. Si la función vectorial R y la función real f son diferenciables en un intervalo y f ( t )
0 en el intervalo, demuestre que R / f es también
diferenciable en el intervalo y
Dt
R (t ) f (t )
f ( t ) R '( t ) f (t )
f '( t ) R ( t ) 2
Del teorema 11.2.6 R (t )
Dt
f (t )
2
1
f '( t ) R ( t )
f ( t ) R '( t )
f ( t ) R '( t )
f (t )
f '( t ) R ( t )
f (t )
2
60. Demuestre que si A y B son vectores constantes y f y g son funciones integrables, entonces A f (t )
B g ( t ) dt
A
f ( t ) dt
B g ( t ) dt
61. Emplee el teorema del ejercicio 61 para demostrar el siguiente teorema que corresponde al teorema 4.1.3 para funciones reales: si antiderivada particular de R en I está dada por F ( t )
F ( t ) es una
C , donde C es un
vector constante arbitrario. Sea G ( t ) cualquier antiderivada de R entonces G '( t ) 62 G ( t )
F (t )
F '( t ) y por el ejercicio
C
62. De una definición de la integral definida de una función vectorial de manera semejante a la de integral indefinida. Después utilice el primer teorema fundamental del cálculo (4.7.1) para demostrar el siguiente teorema que corresponde a funciones vectoriales: si la función R es continua en el intervalo cerrado a , b
y t es cualquier numero de a , b
entonces
t
D t R (u ) d u
R (t )
a
Sea R ( t )
f (t ) i
g (t ) j
t
Dt
t
R (u ) u a
Dt
t
Dt
h ( t ) k , entonces
f (u ) i
g (u ) j
h (u )k
u
f (u ) i
g (u ) j
h (u )k
u
a t
R (u ) u a
Dt
f (t ) i
g (t ) j
h (t ) k
R (t )
a
63. Utilice los teoremas de los ejercicios 62 y 63 para demostrar el teorema siguiente que corresponde al segundo teorema fundamental del cálculo (4.7.2): si la función R es continua en el intervalo cerrado a , b
y si F ( t ) es
cualquier antiderivada de R en a , b , entonces b
R ( t ) dt
F (b )
F (a )
a
Como por hipótesis t
F '( t )
R ( t ), y segú el ejercicio 63. D t
R (u) u a
R ( t ), se s igue del ejercicio 62 que
t
F (t )
a
R (u ) u
C donde C es un vector constante. Como
a b
sigue que F ( b )
R (u ) u a
F (a )
a
R (u ) u a
C
b
R (u ) u a
C
R (u ) u a
0 se
